九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 材料力学 問2

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• 变形协调

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図2の門形構造は、長さ $2\ell$ の水平はり AB と、高さ $\ell$ の柱 AC、BD からなる。C、D は固定端、A、B は剛接合であり、全材の曲げ剛性は $EI$。AB に下向き等分布荷重 $q$ が作用する。O は AB の中点である。

1. AB 間の剪断力線図（SFD）と曲げモーメント線図（BMD）を描け。
2. O の鉛直変位 $\delta_{OV}$ を求めよ。

题目描述

门形刚架的横梁 AB 长 $2\ell$，两柱 AC、BD 高 $\ell$，柱脚固定，梁柱刚接，所有杆件的弯曲刚度为 $EI$。横梁受向下均布荷载 $q$，O 为其中点。求横梁的剪力图、弯矩图和 O 的竖直位移。

Kai

軸方向変形を無視する通常の曲げ理論で求める。対称性より A、B の鉛直変位は 0、節点の水平変位も 0 とする。

(1)

AB の両端の負曲げモーメントの大きさを $m$、A の回転角の大きさを $\alpha$ とする。横梁から

$$\alpha=\frac{q\ell^3}{3EI}-\frac{m\ell}{EI}.$$

柱は両端の横変位が 0 で、下端固定だから、上端の回転剛性は $4EI/\ell$。節点のモーメントのつり合いより

$$m=\frac{4EI}{\ell}\alpha.$$

したがって

$$\boxed{m=\frac{4q\ell^2}{15}}.$$

O を原点として右向きに $x$ をとり、正曲げを下側引張りと定めると、$-\ell<x<\ell$ で

$$\boxed{V(x)=-qx,\qquad M(x)=\frac{7q\ell^2}{30}-\frac{qx^2}{2}}.$$

SFD は $V(-\ell)=q\ell$ から $V(\ell)=-q\ell$ への直線、BMD は両端 $-4q\ell^2/15$、中央 $7q\ell^2/30$ の放物線である。反曲点は $x=\pm\ell\sqrt{7/15}$。

(2)

長さ $2\ell$ の単純支持梁の中央たわみから、両端モーメントによる上向き変位を差し引くと

$$\delta_{OV}=\frac{5q(2\ell)^4}{384EI} -\frac{m(2\ell)^2}{8EI} =\left(\frac5{24}-\frac2{15}\right)\frac{q\ell^4}{EI}.$$

よって

$$\boxed{\delta_{OV}=\frac{3q\ell^4}{40EI}\quad\text{（下向き）}}.$$