九州大学 工学府 機械系専攻 2013年8月実施 材料力学 問2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図2の構造において，次の問に答えよ。（40点）

1) AB間のせん断力線図（SFD），曲げモーメント線図（BMD）を描け。

2) 点Oの垂直方向変位 $\delta_{OV}$ を求めよ。

図中，$q$ は分布力（$\mathrm{N/m}$），$E$ はヤング率，$I$ は断面二次モーメントを表す。$AO=OB=AC=BD=\ell$ で，C，D端は固定され，AB全体に下向きの等分布荷重 $q$ が作用している。

题目描述

对于图2的结构，回答下列问题。（40分）

1) 画出AB段的剪力图（SFD）和弯矩图（BMD）。

2) 求O点的竖直位移 $\delta_{OV}$。

图中 $q$ 为分布载荷（$\mathrm{N/m}$），$E$ 为杨氏模量，$I$ 为截面二次矩。$AO=OB=AC=BD=\ell$，C、D端固定，AB全段承受向下的均布载荷 $q$。

Kai

軸方向変形を無視する通常の曲げ理論で求める。対称性より A、B の鉛直変位は 0、節点の水平変位も 0 とする。

(1)

AB の両端の負曲げモーメントの大きさを $m$、A の回転角の大きさを $\alpha$ とする。横梁から

$$\alpha=\frac{q\ell^3}{3EI}-\frac{m\ell}{EI}.$$

柱は両端の横変位が 0 で、下端固定だから、上端の回転剛性は $4EI/\ell$。節点のモーメントのつり合いより

$$m=\frac{4EI}{\ell}\alpha.$$

したがって

$$\boxed{m=\frac{4q\ell^2}{15}}.$$

O を原点として右向きに $x$ をとり、正曲げを下側引張りと定めると、$-\ell<x<\ell$ で

$$\boxed{V(x)=-qx,\qquad M(x)=\frac{7q\ell^2}{30}-\frac{qx^2}{2}}.$$

SFD は $V(-\ell)=q\ell$ から $V(\ell)=-q\ell$ への直線、BMD は両端 $-4q\ell^2/15$、中央 $7q\ell^2/30$ の放物線である。反曲点は $x=\pm\ell\sqrt{7/15}$。

(2)

長さ $2\ell$ の単純支持梁の中央たわみから、両端モーメントによる上向き変位を差し引くと

$$\begin{gathered} \delta_{OV}=\frac{5q(2\ell)^4}{384EI} -\frac{m(2\ell)^2}{8EI}\\ =\left(\frac5{24}-\frac2{15}\right)\frac{q\ell^4}{EI}. \end{gathered}$$

よって

$$\boxed{\delta_{OV}=\frac{3q\ell^4}{40EI}\quad\text{（下向き）}}.$$