九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 材料力学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図1の弾性棒 OA、OB、OC はすべて断面積 $A$、長さ $\ell$ で、外端 A、B、C は固定されたピンに接続されている。OA、OC のヤング率は $E_1$、OB は $E_2$。三本のなす角は $120^\circ$ で、OA は鉛直、OB は水平から右下へ $30^\circ$ 傾く。

1. 水平右向きから角度 $\theta$ の荷重 $P$ を O に加えたところ、O は真上、すなわち A の方向に変位した。OA、OB、OC の力を $Q,R,S$ として、$R$ と $S$、$Q$ と $S$ の関係を求めよ。
2. $\theta$ を $E_1,E_2$ で表せ。

题目描述

图示三根长 $\ell$、截面积 $A$ 的杆在 O 铰接，外端固定。相邻杆夹角为 $120^\circ$，OA 竖直，OB 向右下倾斜 $30^\circ$。OA、OC 的杨氏模量为 $E_1$，OB 为 $E_2$。施加方向角为 $\theta$ 的力 $P$ 后，O 恰好只向上移动。求三个轴力之间的关系及 $\theta$。

Kai

(1)

引張軸力を正とし、O の上向き変位を $v>0$ とおく。各杆の伸びは、固定端へ向かう単位ベクトルと変位の内積の負で与えられるので

$$\Delta\ell_{OA}=-v,\qquad \Delta\ell_{OB}=\Delta\ell_{OC}=\frac v2.$$

したがって

$$Q=-\frac{E_1A}{\ell}v,\qquad R=\frac{E_2A}{2\ell}v,\qquad S=\frac{E_1A}{2\ell}v,$$

すなわち

$$\boxed{R=\frac{E_2}{E_1}S,\qquad Q=-2S}.$$

OA は圧縮、OB と OC は引張りである。

(2)

O の水平方向、鉛直方向のつり合いから

$$P\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}(S-R),\qquad P\sin\theta=\frac{R+S}{2}-Q.$$

(1) の関係を代入すると

$$P\cos\theta=\frac{\sqrt3(E_1-E_2)}{2E_1}S,\qquad P\sin\theta=\frac{5E_1+E_2}{2E_1}S.$$

よって、角度の象限まで含めた答えは

$$\boxed{\theta=\operatorname{atan2}\!\left(5E_1+E_2,\sqrt3(E_1-E_2)\right)}.$$

特に図のように $E_1>E_2$ なら

$$\boxed{\tan\theta=\frac{5E_1+E_2}{\sqrt3(E_1-E_2)},\quad 0<\theta<\frac\pi2}.$$

$E_1=E_2$ では鉛直上向き、すなわち $\theta=\pi/2$ となる。