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九州大学 工学府 機械系専攻 2013年8月実施 材料力学 問1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図1で弾性体棒OA，OB，OCの断面積を AA，長さを ℓ\ell とする。弾性体棒OA，OCのヤング率は E1E_1，弾性体棒OBのヤング率は E2E_2 である。次の問に答えよ。（35点）

1) ある方向 θ\theta に荷重 PP をかけると，点Oは真上（点Aの方向）に変位した。弾性体棒OA，OB，OCにかかる力を Q,R,SQ,R,S とし，RR と SS，QQ と SS の関係をそれぞれ求めよ。

2) θ\theta を E1,E2E_1,E_2 で表せ。

原題の図1：三本の弾性棒

図中の○はピン継手を表す。各棒のなす角は 120∘120^\circ，棒OBは右向き水平線から下方に 30∘30^\circ，荷重 PP の方向 θ\theta は同じ水平線から上方に測る。

题目描述​

图1中，弹性杆OA、OB、OC的截面积均为 AA，长度均为 ℓ\ell。OA、OC的杨氏模量为 E1E_1，OB的杨氏模量为 E2E_2。回答下列问题。（35分）

1) 沿某方向 θ\theta 施加载荷 PP 后，O点沿正上方，即指向A的方向位移。将OA、OB、OC所受的力分别记为 Q,R,SQ,R,S，分别求 RR 与 SS、QQ 与 SS 的关系。

2) 用 E1,E2E_1,E_2 表示 θ\theta。

图中圆圈表示铰接，各杆夹角为 120∘120^\circ；OB与水平向右方向之间向下的夹角为 30∘30^\circ，载荷方向 θ\theta 从该水平线向上计量。

Kai​

(1)​

引張軸力を正とし、O の上向き変位を v>0v>0 とおく。各杆の伸びは、固定端へ向かう単位ベクトルと変位の内積の負で与えられるので

ΔℓOA=−v,ΔℓOB=ΔℓOC=v2.\Delta\ell_{OA}=-v,\qquad \Delta\ell_{OB}=\Delta\ell_{OC}=\frac v2.

したがって

Q=−E1Aℓv,R=E2A2ℓv,S=E1A2ℓv,\begin{gathered} Q=-\frac{E_1A}{\ell}v,\\ R=\frac{E_2A}{2\ell}v,\\ S=\frac{E_1A}{2\ell}v, \end{gathered}

すなわち

R=E2E1S,Q=−2S.\boxed{R=\frac{E_2}{E_1}S,\qquad Q=-2S}.

OA は圧縮、OB と OC は引張りである。

(2)​

O の水平方向、鉛直方向のつり合いから

Pcos⁡θ=32(S−R),Psin⁡θ=R+S2−Q.\begin{gathered} P\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}(S-R),\\ P\sin\theta=\frac{R+S}{2}-Q. \end{gathered}

(1) の関係を代入すると

Pcos⁡θ=3(E1−E2)2E1S,Psin⁡θ=5E1+E22E1S.\begin{gathered} P\cos\theta=\frac{\sqrt3(E_1-E_2)}{2E_1}S,\\ P\sin\theta=\frac{5E_1+E_2}{2E_1}S. \end{gathered}

よって、角度の象限まで含めた答えは

θ=atan2⁡ ⁣(5E1+E2,3(E1−E2)).\boxed{\theta=\operatorname{atan2}\!\left(5E_1+E_2,\sqrt3(E_1-E_2)\right)}.

特に図のように E1>E2E_1>E_2 なら

tan⁡θ=5E1+E23(E1−E2),0<θ<π2.\boxed{\tan\theta=\frac{5E_1+E_2}{\sqrt3(E_1-E_2)},\quad 0<\theta<\frac\pi2}.

E1=E2E_1=E_2 では鉛直上向き、すなわち θ=π/2\theta=\pi/2 となる。

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