九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 流体工学 問3

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• 流体静力学

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

水平面と角度 $\theta$ をなす非常に長い斜面上に、水を入れた容器を載せた台車がロープで固定され、静止している（図a）。容器には底面を水平にした状態で水位 $h$ まで水が入れられている。ロープを切ると台車は斜面下向きに加速し（図b）、やがて台車・容器への空気抵抗により一定速度 $V$ で移動する（図c）。重力加速度を $g$ とする。（50点）

1. 静止時の水面と水平面の角 $\beta_a$ を求め、水面を図aに示せ。
2. 加速期に加速度 $\alpha$ がほぼ一定として、水面と水平面の角 $\beta_b$ を求め、水面を図bに示せ。必要なら移動速度を $v$ とせよ。
3. 等速時の水面と水平面の角 $\beta_c$ を求め、水面を図cに示せ。

题目描述

装水容器随小车放在倾角 $\theta$ 的长斜面上，起初被绳索固定；切断绳索后向下加速，最终因空气阻力达到恒速。求静止、近似恒加速度 $\alpha$ 和恒速三阶段的液面相对水平的角度，并画出液面。水量以容器底水平时水深 $h$ 确定。

Kai

(1)

静止状態では有効重力は鉛直下向きで、自由表面は水平である。

$$\boxed{\beta_a=0}.$$

(2)

斜面が右上がりとして、右向きに $x$、上向きに $y$ をとる。台車の加速度は $(-\alpha\cos\theta,-\alpha\sin\theta)$ である。台車とともに動く座標系では慣性力を加えて

$$\frac1\rho\nabla p=(\alpha\cos\theta,-g+\alpha\sin\theta).$$

自由面では $dp=0$ なので

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\alpha\cos\theta}{g-\alpha\sin\theta},\qquad \boxed{\beta_b=\arctan\left(\frac{\alpha\cos\theta}{g-\alpha\sin\theta}\right)}.$$

水面は斜面上方へ向かって高くなる。角度は速度 $v$ 自体に依存しない。斜面下向きの自由加速度 $\alpha=g\sin\theta$ の場合は $\beta_b=\theta$ となり、水面は斜面に平行になる。上式は液面が有効重力に対して釣り合った状態を表し、ロープ切断直後の過渡的な液面振動は含めない。

(3)

等速では加速度がゼロで、再び水面は水平となる。

$$\boxed{\beta_c=0}.$$

下図は同じ水量に対する各状態の模式図で、中央は $0<\alpha<g\sin\theta$ の例である。