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九州大学 工学府 機械系専攻 2013年8月実施 流体工学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図のとおり，速度 V∞V_\infty および圧力 p∞p_\infty で一様に流れている大気中に，一定断面積 AA を有するダクトが流れに平行に設置されている。ダクト内にはノズルが組み込まれており，そのノズル出口の断面積は ANA_N である。ダクト入口部の端面が鋭いエッジをもつことから，入口部の壁面近傍で逆流が発生し，空気の流れはダクト入口で非一様であるが，その下流の断面①で再び一様分布となり，速度 V1V_1（未知）を示している。ノズルを通過した空気はノズル出口から一様速度 V2V_2（未知）で流出しているが，その周囲では速度がゼロとなっている。ノズルよりも十分下流のダクト出口（断面③）で，空気の流れは再び一様となって大気中に速度 V3V_3（未知）で流出している。このとき，空気の密度 ρ\rho は一定であること，流れは軸方向の速度成分のみを有していること，壁面摩擦力は無視できること，断面①からノズル出口までの流れではすべての損失が無視できること，断面②の全面（ノズル出口の周囲も含めて）において圧力は一様であること，ならびにダクト壁の厚さは十分に薄いことを仮定して，次の問いに答えよ。（50点）

(1) ノズルの上流断面①およびノズル出口での速度 V1V_1 および V2V_2 を，V3,AV_3,A および ANA_N を用いて表せ。

(2) ダクト内における流動損失のために，ダクト出口での速度 V3V_3 はダクト周囲の一様速度 V∞V_\infty よりも小さくなっている。すなわち，ダクトを設置したことによって，ダクト上流からの流れがダクト周囲に排除されているが，その排除された空気の体積流量 ΔQ\Delta Q を，V3,V∞V_3,V_\infty および AA を用いて表せ。

(3) 断面①とダクト周囲との圧力差 p1−p∞p_1-p_\infty を，V3,V∞V_3,V_\infty および ρ\rho を用いて表せ。

(4) 断面②と断面①との圧力差 p2−p1p_2-p_1 を，V3,A,ANV_3,A,A_N および ρ\rho を用いて表せ。

(5) 断面③と断面②との圧力差 p3−p2p_3-p_2 を，V3,A,ANV_3,A,A_N および ρ\rho を用いて表せ。

(6) 以上から，出口断面③での速度 V3V_3 とダクト周囲の速度 V∞V_\infty との比 V3/V∞V_3/V_\infty を，AA および ANA_N を用いて表せ。

原題の図：ダクト内ノズルと断面①–③

题目描述​

如图所示，在速度为 V∞V_\infty、压力为 p∞p_\infty 的均匀大气流中，平行于流动方向放置一条截面积恒为 AA 的风道。风道内装有喷嘴，喷嘴出口截面积为 ANA_N。风道入口端面有锐边，因而入口附近的壁面处产生逆流，入口空气流动不均匀；但在其下游截面①处，流动又变为均匀分布，速度为未知量 V1V_1。通过喷嘴的空气以均匀速度 V2V_2（未知）从喷嘴出口流出，而出口周围的速度为零。在喷嘴足够远的下游、风道出口截面③处，空气流动再次变为均匀流，并以速度 V3V_3（未知）流入大气。假设空气密度 ρ\rho 恒定，流动只具有轴向速度分量，壁面摩擦力可忽略，从截面①到喷嘴出口的流动中所有损失均可忽略，截面②的整个截面（包括喷嘴出口周围）的压力均匀，且风道壁厚足够薄，回答下列问题。（50分）

(1) 用 V3,A,ANV_3,A,A_N 表示喷嘴上游截面①处的速度 V1V_1 和喷嘴出口速度 V2V_2。

(2) 由于风道内的流动损失，风道出口速度 V3V_3 小于周围均匀气流的速度 V∞V_\infty。也就是说，设置风道后，一部分来自上游的气流被排挤到风道周围。用 V3,V∞,AV_3,V_\infty,A 表示被排挤的空气体积流量 ΔQ\Delta Q。

(3) 用 V3,V∞,ρV_3,V_\infty,\rho 表示截面①与风道周围的压力差 p1−p∞p_1-p_\infty。

(4) 用 V3,A,AN,ρV_3,A,A_N,\rho 表示截面②与截面①的压力差 p2−p1p_2-p_1。

(5) 用 V3,A,AN,ρV_3,A,A_N,\rho 表示截面③与截面②的压力差 p3−p2p_3-p_2。

(6) 根据以上结果，用 A,ANA,A_N 表示出口截面③处速度与风道周围速度之比 V3/V∞V_3/V_\infty。

Kai​

(1)​

連続の式 AV1=ANV2=AV3AV_1=A_NV_2=AV_3 より

V1=V3,V2=AANV3.\boxed{V_1=V_3,\qquad V_2=\frac A{A_N}V_3}.

(2)​

ΔQ=A(V∞−V3).\boxed{\Delta Q=A(V_\infty-V_3)}.

(3)​

入口前後の運動量を考える。入射流量 AV∞AV_\infty のうち AV3AV_3 がダクトへ入り、残り ΔQ\Delta Q は速度 V∞V_\infty の周囲流へ排除される。薄い壁の軸方向力を無視すると

(p∞−p1)A=ρAV32+ρΔQV∞−ρAV∞2.(p_\infty-p_1)A =\rho AV_3^2+\rho\Delta Q V_\infty-\rho AV_\infty^2.

したがって

p1−p∞=ρV3(V∞−V3).\boxed{p_1-p_\infty=\rho V_3(V_\infty-V_3)}.

(4)​

①からノズル出口までは損失がないため

p2−p1=ρ2(V12−V22)=ρV322[1−(AAN)2].\boxed{\begin{gathered} p_2-p_1=\frac\rho2(V_1^2-V_2^2)\\ =\frac{\rho V_3^2}{2}\left[1-\left(\frac A{A_N}\right)^2\right] \end{gathered}}.

(5)​

②–③は噴流が周囲の静止流体と混合する領域である。圧力は②の全面で同じなので、運動量式は

(p2−p3)A=ρAV32−ρANV22.(p_2-p_3)A=\rho AV_3^2-\rho A_NV_2^2.

よって

p3−p2=ρV32(AAN−1).\boxed{p_3-p_2=\rho V_3^2\left(\frac A{A_N}-1\right)}.

ここには混合損失があるため、無損失のベルヌーイ式で置き換えない。

(6)​

出口圧力 p3=p∞p_3=p_\infty より、(3)–(5)の圧力差の和はゼロである。r=A/ANr=A/A_N とおくと

V∞V3−1+1−r22+r−1=0.\frac{V_\infty}{V_3}-1+\frac{1-r^2}{2}+r-1=0.

したがって

V3V∞=2r2−2r+3=2AN2A2−2AAN+3AN2.\boxed{\begin{gathered} \frac{V_3}{V_\infty}=\frac{2}{r^2-2r+3}\\ =\frac{2A_N^2}{A^2-2AA_N+3A_N^2} \end{gathered}}.
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