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九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 流体工学 問1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

速度 V∞V_\infty、圧力 p∞p_\infty の一様な大気流中に、一定断面積 AA のダクトが流れと平行に置かれ、その内部に出口面積 ANA_N のノズルがある。入口端面は鋭いエッジを持ち、壁面近くに逆流が生じるため入口の流れは非一様であるが、下流の断面①では再び一様速度 V1V_1 となる。

ノズル出口（断面②）の速度は一様に V2V_2、その周囲の速度はゼロである。十分下流のダクト出口（断面③）では一様速度 V3V_3 で大気中へ流出する。密度 ρ\rho は一定、速度は軸方向成分のみ、壁面摩擦は無視できるとする。また①からノズル出口までは無損失、②ではノズル出口の周囲も含めて圧力は一様、ダクト壁は十分薄い。（50点）

  1. V1,V2V_1,V_2 を V3,A,ANV_3,A,A_N で表せ。
  2. V3<V∞V_3<V_\infty により上流からダクト周囲に排除される体積流量 ΔQ\Delta Q を V3,V∞,AV_3,V_\infty,A で表せ。
  3. p1−p∞p_1-p_\infty を V3,V∞,ρV_3,V_\infty,\rho で表せ。
  4. p2−p1p_2-p_1 を V3,A,AN,ρV_3,A,A_N,\rho で表せ。
  5. p3−p2p_3-p_2 を V3,A,AN,ρV_3,A,A_N,\rho で表せ。
  6. V3/V∞V_3/V_\infty を A,ANA,A_N で表せ。

原題の図（九州大学 2014年度 流体工学 問1）

题目描述​

均匀大气流中放置截面 AA 的平行风道，内部喷嘴出口面积为 ANA_N。锐边入口产生逆流和非均匀速度，下游①恢复均匀速度 V1V_1；喷嘴出口②速度为 V2V_2，周围为静止流体；远下游出口③又恢复均匀速度 V3V_3。密度恒定、只有轴向速度、忽略壁面摩擦，①到喷嘴出口无损失，②整个截面压力均匀，管壁很薄。依次求连续性关系、被排除的流量、三段压差及出口与外流速度比。

Kai​

(1)​

連続の式 AV1=ANV2=AV3AV_1=A_NV_2=AV_3 より

V1=V3,V2=AANV3.\boxed{V_1=V_3,\qquad V_2=\frac A{A_N}V_3}.

(2)​

ΔQ=A(V∞−V3).\boxed{\Delta Q=A(V_\infty-V_3)}.

(3)​

入口前後の運動量を考える。入射流量 AV∞AV_\infty のうち AV3AV_3 がダクトへ入り、残り ΔQ\Delta Q は速度 V∞V_\infty の周囲流へ排除される。薄い壁の軸方向力を無視すると

(p∞−p1)A=ρAV32+ρΔQV∞−ρAV∞2.(p_\infty-p_1)A =\rho AV_3^2+\rho\Delta Q V_\infty-\rho AV_\infty^2.

したがって

p1−p∞=ρV3(V∞−V3).\boxed{p_1-p_\infty=\rho V_3(V_\infty-V_3)}.

(4)​

①からノズル出口までは損失がないため

p2−p1=ρ2(V12−V22)=ρV322[1−(AAN)2].\boxed{p_2-p_1=\frac\rho2(V_1^2-V_2^2) =\frac{\rho V_3^2}{2}\left[1-\left(\frac A{A_N}\right)^2\right]}.

(5)​

②–③は噴流が周囲の静止流体と混合する領域である。圧力は②の全面で同じなので、運動量式は

(p2−p3)A=ρAV32−ρANV22.(p_2-p_3)A=\rho AV_3^2-\rho A_NV_2^2.

よって

p3−p2=ρV32(AAN−1).\boxed{p_3-p_2=\rho V_3^2\left(\frac A{A_N}-1\right)}.

ここには混合損失があるため、無損失のベルヌーイ式で置き換えない。

(6)​

出口圧力 p3=p∞p_3=p_\infty より、(3)–(5)の圧力差の和はゼロである。r=A/ANr=A/A_N とおくと

V∞V3−1+1−r22+r−1=0.\frac{V_\infty}{V_3}-1+\frac{1-r^2}{2}+r-1=0.

したがって

V3V∞=2r2−2r+3=2AN2A2−2AAN+3AN2.\boxed{\frac{V_3}{V_\infty}=\frac{2}{r^2-2r+3} =\frac{2A_N^2}{A^2-2AA_N+3A_N^2}}.
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