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九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 機械力学 問2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

滑らかな水平面を動く質量 m1m_1 の物体を、ばね定数 k1k_1 のばねで基礎につなぐ。物体の支持点から、長さ ll の質量を無視できる剛体棒で質点 m2m_2 を支持する。棒は鉛直上向きから右へ角度 θ\theta だけ傾き、支持点の回転ばね（ばね定数 k2k_2）のトルクは θ\theta に比例し、θ=0\theta=0 でゼロである。水平ばねが自然長のときの支持点を原点 O とし、右向きを xx、上向きを yy の正方向とする。一般化座標は x=(x,θ)T\boldsymbol x=(x,\theta)^T、重力加速度は gg。（50 点）

問題の装置（公式原図）

  1. 運動エネルギー TT とポテンシャルエネルギー UU を求めよ。
  2. ラグランジュの運動方程式を求め、さらに θ,θ˙\theta,\dot\theta が微小として線形化し、行列表示せよ。
  3. k2=αk1l2k_2=\alpha k_1l^2、m1=m2=mm_1=m_2=m、k1/m=g/l=βk_1/m=g/l=\beta とする。特性方程式を示し、全モードが振動的になる条件を導け。ただし α,β>0\alpha,\beta>0。

题目描述​

水平无摩擦滑块质量为 m1m_1，用刚度 k1k_1 的弹簧接到固定基座。滑块上的无质量刚杆长 ll，顶端有质量 m2m_2，杆与滑块之间有扭转刚度 k2k_2 的转动弹簧；杆竖直向上时转矩为零，向右偏转为正角 θ\theta。水平弹簧原长时支点为原点，水平右移为 xx。求动能、势能、非线性拉格朗日方程及小振动矩阵；在 k2=αk1l2k_2=\alpha k_1l^2、m1=m2=mm_1=m_2=m、k1/m=g/l=βk_1/m=g/l=\beta 且 α,β>0\alpha,\beta>0 时求特征方程和全部模态均为振动的条件。

Kai​

(1)​

質点 m2m_2 の座標は (x+lsin⁡θ,lcos⁡θ)(x+l\sin\theta,l\cos\theta)。したがって、ポテンシャルの任意定数を省略して

T=12(m1+m2)x˙2+m2lx˙θ˙cos⁡θ+12m2l2θ˙2,\boxed{T=\frac12(m_1+m_2)\dot x^2+m_2l\dot x\dot\theta\cos\theta +\frac12m_2l^2\dot\theta^2,}
U=12k1x2+12k2θ2+m2glcos⁡θ.\boxed{U=\frac12k_1x^2+\frac12k_2\theta^2+m_2gl\cos\theta.}

(2)​

L=T−UL=T-U に対し d(∂L/∂q˙)/dt−∂L/∂q=0\mathrm d(\partial L/\partial\dot q)/\mathrm dt-\partial L/\partial q=0 を用いる。

(m1+m2)x¨+m2l(θ¨cos⁡θ−θ˙2sin⁡θ)+k1x=0,\boxed{(m_1+m_2)\ddot x+m_2l(\ddot\theta\cos\theta-\dot\theta^2\sin\theta)+k_1x=0,}
m2lx¨cos⁡θ+m2l2θ¨+k2θ−m2glsin⁡θ=0.\boxed{m_2l\ddot x\cos\theta+m_2l^2\ddot\theta+k_2\theta-m_2gl\sin\theta=0.}

第2式では、d(∂L/∂θ˙)/dt\mathrm d(\partial L/\partial\dot\theta)/\mathrm dt と ∂L/∂θ\partial L/\partial\theta の双方に現れる −m2lx˙θ˙sin⁡θ-m_2l\dot x\dot\theta\sin\theta が相殺される。

一次の項だけを残すと

(m1+m2m2lm2lm2l2)(x¨θ¨)+(k100k2−m2gl)(xθ)=0.\boxed{ \begin{pmatrix}m_1+m_2&m_2l\\m_2l&m_2l^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ddot x\\\ddot\theta\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}k_1&0\\0&k_2-m_2gl\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\theta\end{pmatrix}=\boldsymbol0.}

(3)​

与えられた関係を代入すると、質量行列と剛性行列は

M=m(2lll2),K=mβ(100(α−1)l2).\boldsymbol M=m\begin{pmatrix}2&l\\l&l^2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol K=m\beta\begin{pmatrix}1&0\\0&(\alpha-1)l^2\end{pmatrix}.

特性方程式は

ω4−(2α−1)βω2+(α−1)β2=0.\boxed{\omega^4-(2\alpha-1)\beta\omega^2+(\alpha-1)\beta^2=0.}

その2根は

ω±2=β2[2α−1±4(α−1)2+1].\omega_\pm^2=\frac\beta2\left[2\alpha-1\pm\sqrt{4(\alpha-1)^2+1}\right].

両根は常に実数である。両方を正にするには、和が正、積が正であればよい。β>0\beta>0 より 2α−1>02\alpha-1>0 と α−1>0\alpha-1>0 を合わせて

α>1.\boxed{\alpha>1.}

α=1\alpha=1 では零振動数のモードが残り、0<α<10<\alpha<1 では一方の ω2\omega^2 が負となる。これは回転ばねの復元剛性 k2k_2 が倒立位置の重力による負の剛性 mglmgl を上回る条件と一致する。

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