九州大学 工学府 機械系専攻 2012年8月実施 熱工学 問1

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• 理想气体的熵与热容
• 焓与热力学关系

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のようにシリンダとピストンで囲まれたA室に比熱比 $\kappa$ の理想気体が密閉されている。ピストンの断面積は $S$ であり，シリンダとピストンの間に摩擦，気体の漏れは無い。ピストンはバネ定数 $k$ のバネによりA室と反対側の壁につながれており，A室の反対側は大気開放されている。シリンダ，ピストンともに断熱であり，A室内にはヒーターが設置されている。ピストンの左端の位置を座標 $x$ で表し，図のようにシリンダ左側壁の内側位置を原点とする。状態0において，バネは自然長であり，A室の気体の圧力，温度は $p_0,T_0$ であり，$x=x_0$ であった。この状態からヒーターによる加熱を始めたところ，ピストンはゆっくりと動き始め，$x=x_1$ となったところで加熱をやめた。この状態1におけるA室の気体の圧力，温度を $p_1,T_1$ とする。$p_0,T_0,S,k,x_0,x_1,\kappa$ を既知とし，以下の問に答えよ。ただし，A室内の変化は準静的なものであり，$\kappa$ は温度に依存しないとする。（60点）

(1) $p_1,T_1$ を求めよ。

(2) 状態0から状態1の間にA室内に与えた熱量 $Q_{01}$ を求めよ。

(3) 状態1からシリンダの左側の壁に小さな穴を開けたところ，穴から気体がゆっくりと漏れ，ピストンが動き始めた。やがてピストンが停止した状態を状態2とする。状態2においてA室内に残った気体の質量割合を求めよ。

(4) 状態2から穴を塞ぎ，再び $x=x_1$ となるまでヒーターにより緩やかに加熱して状態3とした。この間にA室内に与えた熱量 $Q_{23}$ を求めよ。

题目描述

如图，气缸与活塞围成的A室中密封着比热比为 $\kappa$ 的理想气体。活塞截面积为 $S$，活塞与气缸之间没有摩擦，也没有气体泄漏。活塞通过弹簧常数为 $k$ 的弹簧连接在A室对侧的壁面上，A室对侧与大气相通。气缸和活塞均绝热，A室内装有加热器。以 $x$ 表示活塞左端的位置，原点取在图示气缸左壁的内侧。状态0时，弹簧处于自然长度，A室气体的压力、温度分别为 $p_0,T_0$，且 $x=x_0$。从该状态开始用加热器加热，活塞缓慢移动，在 $x=x_1$ 时停止加热。将此状态1的气体压力、温度记为 $p_1,T_1$。已知 $p_0,T_0,S,k,x_0,x_1,\kappa$，回答下列问题。A室内的变化为准静态变化，$\kappa$ 不随温度改变。（60分）

(1) 求 $p_1,T_1$。

(2) 求从状态0到状态1向A室内提供的热量 $Q_{01}$。

(3) 从状态1开始，在气缸左壁开一个小孔，气体从孔中缓慢泄漏，活塞开始移动。将活塞最终停止时记为状态2。求状态2时A室中剩余气体的质量占原气体质量的比例。

(4) 在状态2堵住小孔，再次用加热器缓慢加热至 $x=x_1$，达到状态3。求此过程中向A室内提供的热量 $Q_{23}$。

Kai

$\Delta x=x_1-x_0>0$、初始気体質量を $m_0$、比気体定数を $R$ とする。状態0でばね力が零なので大気圧は $p_0$ である。準静的な力の釣り合いより、全過程の圧力と体積は

$$p(x)=p_0+\frac{k}{S}(x-x_0),\qquad V=Sx.$$

(1)

$$\boxed{p_1=p_0+\frac{k\Delta x}{S}}.$$

状態0から1では質量が一定で、$m_0RT_0=p_0Sx_0$。したがって

$$\boxed{T_1=T_0\frac{p_1x_1}{p_0x_0}}.$$

(2)

気体がする境界仕事は

$$\begin{gathered} W_{01}=\int_{x_0}^{x_1}p(x)S\,dx\\ =p_0S\Delta x+\frac{k}{2}(\Delta x)^2. \end{gathered}$$

比熱一定の理想気体では $U=pV/(\kappa-1)$ なので

$$\boxed{Q_{01}=\frac{p_1Sx_1-p_0Sx_0}{\kappa-1} +p_0S\Delta x+\frac{k}{2}(\Delta x)^2}.$$

既知量だけで書けば

$$\boxed{Q_{01}=\frac{\kappa p_0S}{\kappa-1}\Delta x +\frac{kx_1}{\kappa-1}\Delta x+\frac{k}{2}(\Delta x)^2}.$$

(3)

流出が止まると $p_2=p_0$ であり、力の釣り合いから $x_2=x_0$。漏出中は質量 $m$ が減少する開放系で、ヒータ停止・断熱である。流出気体が持ち去るエンタルピーを含めると、$dm<0$ として

$$d(mc_vT)=-p\,dV+c_pT\,dm.$$

これを展開して $pV=mRT$ を用いると

$$\begin{gathered} mc_v\,dT=-p\,dV+RT\,dm,\\ \frac{dp}{p}+\kappa\frac{dV}{V}=\kappa\frac{dm}{m}. \end{gathered}$$

積分により $m/m_0=(p/p_1)^{1/\kappa}(V/V_1)$。よって求める残留質量割合は

$$\boxed{\begin{gathered} \frac{m_2}{m_0}=\frac{x_0}{x_1} \left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{1/\kappa}\\ =\frac{x_0}{x_1}\left(\frac{p_0}{p_0+k\Delta x/S}\right)^{1/\kappa} \end{gathered}}.$$

また、$T_2/T_1=(p_0/p_1)^{(\kappa-1)/\kappa}$ であり、漏出を等温過程と置くことはできない。

(4)

状態2では $(p,V)=(p_0,Sx_0)$、状態3では $(p,V)=(p_1,Sx_1)$。質量は状態0・1と異なるが、内部エネルギー $U=pV/(\kappa-1)$ の両端値はそれぞれ等しい。また圧力–体積の経路も同じなので $W_{23}=W_{01}$。従って

$$\boxed{\begin{gathered} Q_{23}=Q_{01}\\ =\frac{\kappa p_0S}{\kappa-1}\Delta x +\frac{kx_1}{\kappa-1}\Delta x+\frac{k}{2}(\Delta x)^2 \end{gathered}}.$$