九州大学 工学府 機械系専攻 2012年8月実施 数学 問3

标签：

• 九州大学
• 二重积分
• 约束最优化

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

次の各問いに答えよ。（50点）

(1) $D=\{(x,y)\mid x^2+4y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}$ とするとき、領域 $D$ を図示せよ。

(2) $z=x+y$ とする。領域 $D$ における $z$ の最大値と、そのときの座標値 $(x,y)$ を求めよ。

(3) $V=\displaystyle\iint_D(x+y)\,dx\,dy$ を計算せよ。

(4) $V$ は領域 $D$ を底面とする立体の体積を表す。このときの立体の形状を3次元的に分かりやすく図示せよ。図には $x,y,z$ 軸と主要な座標値を記入せよ。

题目描述

回答以下各问。（50分）

(1) 设 $D=\{(x,y)\mid x^2+4y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}$，画出区域 $D$。

(2) 设 $z=x+y$。求 $z$ 在区域 $D$ 上的最大值，以及取得最大值时的坐标 $(x,y)$。

(3) 计算 $V=\displaystyle\iint_D(x+y)\,dx\,dy$。

(4) $V$ 表示以区域 $D$ 为底面的立体的体积。用清楚的三维图画出该立体，并在图中标出 $x,y,z$ 轴和主要坐标值。

Kai

(1)

$D$ は $x^2/4+y^2\le1$ の第一象限部分で、境界を含む。軸との交点は $(2,0)$、$(0,1)$ である。

(2)

Cauchy–Schwarz の不等式より

$$x+y=2\frac x2+y\le\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{\frac{x^2}4+y^2}\le\sqrt5.$$

等号は $(x/2,y)$ が $(2,1)$ に比例し、楕円上にあるときに成立する。したがって

$$\boxed{z_{\max}=\sqrt5,\qquad (x,y)=\left(\frac4{\sqrt5},\frac1{\sqrt5}\right)}.$$

(3)

$x=2\rho\cos\theta$、$y=\rho\sin\theta$ とおくと、$0\le\rho\le1$、$0\le\theta\le\pi/2$、Jacobian は $2\rho$ である。

$$\boxed{\begin{gathered} V=\int_0^{\pi/2}\int_0^1 (2\rho\cos\theta+\rho\sin\theta)2\rho\,d\rho\,d\theta\\ =\frac23(2+1)\\ =2 \end{gathered}}.$$

(4)

立体は

$$\boxed{\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\ 0\le z\le x+y\}}$$

である。上図の右に示すように、底面は $z=0$、上面は平面 $z=x+y$、側面の一つは楕円柱 $x^2+4y^2=4$ の一部となる。主要点は底面の $(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0)$ と、上面の $(2,0,2),(0,1,1)$ である。上面の最高点は $(4/\sqrt5,1/\sqrt5,\sqrt5)$。