九州大学 工学府 機械系専攻 2012年8月実施 数学 問1

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• 二阶线性常微分方程

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

次の各問いに答えよ。（50点）

(1) 以下の連立微分方程式の一般解を実数値関数として求めよ。

$$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}-2y=0,\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}+2x=0. \end{cases}$$

(2) (1)で求めた解は $xy$ 平面上にどのような図形を描くか図示せよ。

题目描述

回答以下各问。（50分）

(1) 求下列联立微分方程的实值函数通解。

$$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}-2y=0,\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}+2x=0. \end{cases}$$

(2) 将(1)所得的解在 $xy$ 平面上描绘出的图形画出来。

Kai

(1)

$x'=2y$ を微分し、$y'=-2x$ を代入すると $x''+4x=0$。したがって

$$\boxed{\begin{gathered} x(t)=A\cos2t+B\sin2t,\\ y(t)=-A\sin2t+B\cos2t,\\ A,B\in\mathbb R \end{gathered}}.$$

(2)

$$x(t)^2+y(t)^2=A^2+B^2.$$

よって $R=\sqrt{A^2+B^2}>0$ なら、軌跡は原点を中心とする半径 $R$ の円である。$(R,0)$ における速度が $(0,-2R)$ なので、時間の増加とともに時計回りに進む。$A=B=0$ の場合は原点に静止する。