九州大学 工学府 機械系専攻 2013年度 数学 問1

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• 二阶线性常微分方程

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

次の各問いに答えよ。（50点）

1. 以下の連立微分方程式の一般解を実数値関数として求めよ。

$$\frac{dx}{dt}-2y=0,\qquad \frac{dy}{dt}+2x=0.$$

2. (1) で求めた解は $xy$ 平面上にどのような図形を描くか図示せよ。

题目描述

求二元联立微分方程的实值通解，并画出解在平面上的轨迹。

Kai

(1)

$x'=2y$ を微分し、$y'=-2x$ を代入すると $x''+4x=0$。したがって

$$\boxed{x(t)=A\cos2t+B\sin2t,\qquad y(t)=-A\sin2t+B\cos2t,\quad A,B\in\mathbb R}.$$

(2)

$$x(t)^2+y(t)^2=A^2+B^2.$$

よって $R=\sqrt{A^2+B^2}>0$ なら、軌跡は原点を中心とする半径 $R$ の円である。$(R,0)$ における速度が $(0,-2R)$ なので、時間の増加とともに時計回りに進む。$A=B=0$ の場合は原点に静止する。