九州大学 工学府 機械系専攻 2013年度 材料力学 問4

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• 梁的挠度
• 扭转
• 变形协调

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図4の直角に折れ曲がった弾性丸棒 ABC は、AB $=$ BC $=\ell$、直径 $d$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$ を持つ。A、C は固定端で、二本の棒は B で剛に接合されている。棒は水平面内にあり、B に鉛直下向き荷重 $P$ を加える。B の鉛直変位 $\delta_{BV}$ を求めよ。

题目描述

两段长 $\ell$、直径 $d$ 的弹性圆杆在 B 处直角刚接，A、C 固定，两杆位于水平面内。材料参数为 $E,\nu$。B 受向下力 $P$，求其竖直位移。

Kai

$$I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad I_p=2I,\qquad GI_p=\frac{EI}{1+\nu}.$$

対称性より、各杆が負担する鉛直力は $P/2$。AB の B 端で曲げを抑えるモーメントの大きさを $M$ とすると、B のモーメントのつり合いから、BC に作用するねじりモーメントの大きさも $M$ である。

AB の曲げによる端部回転角と、BC のねじれ角が等しいので

$$\frac{P\ell^2}{4EI}-\frac{M\ell}{EI} =\frac{M\ell}{GI_p} =\frac{(1+\nu)M\ell}{EI}.$$

よって

$$M=\frac{P\ell}{4(2+\nu)}.$$

AB の片持ちはりとしての先端変位は

$$\delta_{BV}=\frac{P\ell^3}{6EI}-\frac{M\ell^2}{2EI} =\frac{(5+4\nu)P\ell^3}{24(2+\nu)EI}.$$

したがって

$$\boxed{\delta_{BV}=\frac{8(5+4\nu)P\ell^3} {3(2+\nu)\pi Ed^4}\quad\text{（下向き）}}.$$