九州大学 工学府 機械系専攻 2012年8月実施 材料力学 問4

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• 变形协调

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図4の構造において，次の問に答えよ。（35点）

着力点Bの垂直方向変位 $\delta_{BV}$ を求めよ。

図中の弾性体丸棒は直径 $d$，ヤング率 $E$，ポアソン比 $\nu$ であり，$AB=BC=\ell$，$\angle ABC=\pi/2$ である。A，C端は固定され，点Bに下向き荷重 $P$ が作用する。

题目描述

对于图4的结构，回答下列问题。（35分）

求载荷作用点B的竖直位移 $\delta_{BV}$。

图中的弹性圆杆直径为 $d$，杨氏模量为 $E$，泊松比为 $\nu$。$AB=BC=\ell$，两段互相垂直，A、C两端固定，B点承受向下载荷 $P$。

Kai

$$I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad I_p=2I,\qquad GI_p=\frac{EI}{1+\nu}.$$

対称性より、各杆が負担する鉛直力は $P/2$。AB の B 端で曲げを抑えるモーメントの大きさを $M$ とすると、B のモーメントのつり合いから、BC に作用するねじりモーメントの大きさも $M$ である。

AB の曲げによる端部回転角と、BC のねじれ角が等しいので

$$\frac{P\ell^2}{4EI}-\frac{M\ell}{EI} =\frac{M\ell}{GI_p} =\frac{(1+\nu)M\ell}{EI}.$$

よって

$$M=\frac{P\ell}{4(2+\nu)}.$$

AB の片持ちはりとしての先端変位は

$$\delta_{BV}=\frac{P\ell^3}{6EI}-\frac{M\ell^2}{2EI} =\frac{(5+4\nu)P\ell^3}{24(2+\nu)EI}.$$

したがって

$$\boxed{\delta_{BV}=\frac{8(5+4\nu)P\ell^3} {3(2+\nu)\pi Ed^4}\quad\text{（下向き）}}.$$