九州大学 工学府 機械系専攻 2013年度 材料力学 問2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図2の棒 BD、BF はヤング率 $E$、断面積 $A$ の弾性棒である。B は固定位置のピン、CF は C でピン支持された一本の剛体で、D では折れ曲がらない。BD は D で CF の中心線上にピン接合される。CD $=a$、DF $=b$、BD は水平、BF は水平から角度 $\theta$ だけ下がる。F に右向き荷重 $P$ を加える。

1. BD、BF の軸力 $Q_{BD},Q_{BF}$ を求めよ。
2. F の水平変位 $\delta_{FH}$ を求めよ。

题目描述

图示弹性杆 BD、BF 的轴向刚度均为 $EA$，B 为固定铰点。竖直刚杆 CF 在 C 铰支，D 处连续，BD 在其中心线上铰接。CD 长 $a$，DF 长 $b$，BF 与水平夹角为 $\theta$。F 受水平向右力 $P$。求两弹性杆轴力和 F 的水平位移。

Kai

(1)

部材の長さは

$$L_{BD}=\frac{b}{\tan\theta},\qquad L_{BF}=\frac{b}{\sin\theta}.$$

剛体 CF が C を中心に微小回転すると、D、F の一次変位は水平だけであり

$$\delta_{DH}=\frac{a}{a+b}\delta_{FH}.$$

引張りを正とすると

$$\delta_{DH}=\frac{L_{BD}}{EA}Q_{BD},\qquad \delta_{FH}\cos\theta=\frac{L_{BF}}{EA}Q_{BF}.$$

したがって

$$Q_{BF}=\frac{a+b}{a}\cos^2\theta\,Q_{BD}.$$

C まわりのモーメントのつり合いは

$$aQ_{BD}+(a+b)Q_{BF}\cos\theta=(a+b)P.$$

以上より

$$\boxed{Q_{BD}=\frac{a(a+b)}{a^2+(a+b)^2\cos^3\theta}P},$$

$$\boxed{Q_{BF}=\frac{(a+b)^2\cos^2\theta} {a^2+(a+b)^2\cos^3\theta}P}.$$

どちらも引張力である。

(2)

$$\delta_{FH}=\frac{L_{BF}Q_{BF}}{EA\cos\theta}$$

より

$$\boxed{\delta_{FH}= \frac{Pb(a+b)^2\cos\theta} {EA\sin\theta\{a^2+(a+b)^2\cos^3\theta\}} \quad\text{（右向き）}}.$$