九州大学 工学府 機械系専攻 2013年度 材料力学 問1

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Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図1の直角三角形の剛体板を、同じばね定数 $k$、長さ $s$ の三本の鉛直ばねで支える。板の底辺は $b$、高さは $h$、板厚は 1、単位面積当たりの重量は $q$。ばねは底辺の両端 A、C および中点 B に取り付ける。剛体板の重心の鉛直変位 $\delta_V$ を求めよ。

题目描述

底边 $b$、高 $h$ 的直角三角形刚板，单位面积重量为 $q$，由底边两端 A、C 和中点 B 的三根相同竖直弹簧支承。弹簧刚度为 $k$、长 $s$，板厚为 1。求板重心的竖直位移。

Kai

全重量と、A から測った重心の水平位置は

$$W=\frac12qbh,\qquad x_G=\frac{2b}{3}.$$

ばねの上向き反力を $F_A,F_B,F_C$、縮みを $v_A,v_B,v_C$ とする。板が剛体なので一次の変位分布は直線であり

$$v_A+v_C=2v_B, \qquad F_A+F_C=2F_B.$$

鉛直力および B まわりのモーメントのつり合いは

$$F_A+F_B+F_C=W,\qquad \frac b2(F_C-F_A)=\frac b6W.$$

これらを解くと

$$F_A=\frac W6,\qquad F_B=\frac W3,\qquad F_C=\frac W2.$$

重心の鉛直変位は底辺上の $x=x_G$ と同じ一次変位であり

$$\delta_V=v_A+\frac{2}{3}(v_C-v_A) =\frac{W}{6k}+\frac23\frac{W}{3k} =\frac{7W}{18k}.$$

よって

$$\boxed{\delta_V=\frac{7qbh}{36k}\quad\text{（下向き）}}.$$

$q$ は質量密度ではなく単位面積当たりの重量なので、さらに重力加速度を掛ける必要はない。