九州大学 工学府 機械系専攻 2012年8月実施 流体工学 問1

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• 管道沿程损失
• 局部水头损失

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図aに示すように，床面に置かれた断面積の十分大きな容器に，同一の床面に置かれた断面積 $A$ の小容器が，長さ $l$，管内径 $d$ の細い水平円管および弁を介して床面から高さ $h_0$ の位置で接続されている。大小二つの容器はともに大気に開放されている。最初，弁は閉じられており，大容器には水が底面から高さ $H_0$ まで入れられており，水平円管も水で満たされている。小容器は空である。時刻 $t=0$ で弁を全開にして小容器に水を流出させるとき，流れが準定常的である（各時刻において流れが定常であると扱える）と仮定して，以下の問いに答えよ。なお，全開時の弁の損失係数を $\zeta_v$，そのときの弁の内径を管内径と同じであるとし，流体は縮流を起こすことなく小容器に流出するものとする。また，水平円管の入口損失係数を $\zeta_{in}$，管摩擦係数を $\lambda$（一定）とし，重力加速度を $g$ とする。（50点）

(1) 図bに示すように，小容器内の水面が水平円管より低い位置にあるとき，小容器内の水面の床面からの高さを $h$ として，水平管から小容器に流出する水の体積流量 $Q_1$ を求めよ。

(2) 小容器内の水面が水平円管と同じ高さになる時刻 $T_1$ を求めよ。

(3) 図cに示すように，小容器内の水面が水平円管より高い位置にあるとき，小容器内の水面の床面からの高さを $h$ として，水平管から小容器に流出する水の体積流量 $Q_2$ を求めよ。なお，小容器内の水面の上昇速度は円管を流出する速度よりも十分に小さいとする。

(4) 小容器内の水面が大容器の水面と同じ高さになる時刻 $T_2$ を求めよ。

题目描述

如图a所示，一个截面积足够大的容器放置在地面上，另一个截面积为 $A$ 的小容器放在同一地面上；二者在距地面高度 $h_0$ 处，通过一根长度为 $l$、内径为 $d$ 的细水平圆管及阀门连接。两个容器均与大气相通。最初阀门关闭，大容器内的水面距底面高度为 $H_0$，水平圆管中也充满水，小容器为空。在 $t=0$ 时将阀门完全打开，使水流入小容器。假设流动为准定常流动，即在各时刻可将流动视为定常流动，回答下列问题。阀门全开时的损失系数为 $\zeta_v$，此时阀门内径与管内径相同，流体不发生收缩而流入小容器。水平圆管的入口损失系数为 $\zeta_{in}$，管摩擦系数为常量 $\lambda$，重力加速度为 $g$。（50分）

(1) 如图b所示，小容器内水面低于水平圆管时，将小容器水面距地面的高度记作 $h$，求从水平管流入小容器的水的体积流量 $Q_1$。

(2) 求小容器内水面上升到与水平圆管同一高度的时刻 $T_1$。

(3) 如图c所示，小容器内水面高于水平圆管时，将小容器水面距地面的高度记作 $h$，求从水平管流入小容器的水的体积流量 $Q_2$。设小容器内水面的上升速度远小于水流出圆管的速度。

(4) 求小容器内水面上升到与大容器水面同一高度的时刻 $T_2$。

Kai

管断面積を $a=\pi d^2/4$、$K=1+\zeta_{\rm in}+\lambda l/d+\zeta_v$ とする。大容器の水位は一定とみなす。

(1)

自由噴流出口の位置は $h_0$ であり、小容器の水位がそれより低い間は流量は一定である。

$$\boxed{Q_1=a\sqrt{\frac{2g(H_0-h_0)}K}}.$$

(2)

$Q_1T_1=Ah_0$ なので

$$\boxed{T_1=\frac{Ah_0}{a}\sqrt{\frac{K}{2g(H_0-h_0)}}}.$$

(3)

出口が水没すると、二つの自由表面の水位差が駆動水頭になる。管入口・弁・管摩擦の損失に加え、小容器に入る際の出口損失係数1も含める。

$$\boxed{Q_2(h)=a\sqrt{\frac{2g(H_0-h)}K}}.$$

$h=h_0$ で (1) と連続する。

(4)

小容器の体積保存 $A\,dh/dt=Q_2(h)$ を積分して

$$\begin{gathered} T_2-T_1=\frac Aa\sqrt{\frac K{2g}} \int_{h_0}^{H_0}\frac{dh}{\sqrt{H_0-h}}\\ =\frac{2A}{a}\sqrt{\frac{K(H_0-h_0)}{2g}}. \end{gathered}$$

したがって

$$\boxed{T_2=T_1+\frac{2A}{a}\sqrt{\frac{K(H_0-h_0)}{2g}}}.$$