九州大学 工学府 機械系専攻 2011年8月実施 熱工学 問2

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• 内热源导热

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように内部が均一に発熱している厚さ $L$，熱伝導率 $k$ の平板があり，両側が同じ温度 $T_f$ の流体によって冷却されている。平板左側および右側の熱伝達率はそれぞれ $h_1,h_2$ であり，単位時間・単位体積あたりの発熱量が $G$ のとき，以下の問いに答えよ。ただし熱伝導率および熱伝達率は温度によらず一定で，熱は $x$ 方向のみに流れ，定常状態と仮定してよい。（50点）

1) 平板内の微小検査体積の熱収支より，以下に示す平板内の一次元定常熱伝導方程式を導け。（10点）

$$\frac{d^2T}{dx^2}+\frac Gk=0$$

（$T$ は平板の任意の場所における温度，$x$ は平板左端からの距離である）

2) 平板左面および右面の温度をそれぞれ $T_1,T_2$ としてこの熱伝導方程式を解き，平板内の温度分布を求めよ。（10点）

3) 平板左面および右面における熱流束 $q_1$ および $q_2$ を求めよ。ただし，$T_1$ と $T_2$ を測定したところ，

$$T_1-T_2=\frac{GL^2}{4k}$$

であったので，これ以降はこの条件が満足されるとする。（10点）

4) $T_1$ を $T_f,h_1,G,L$ を用いて，$T_2$ を $T_f,h_2,G,L$ を用いてそれぞれ表せ。（10点）

5) $h_1$ と $h_2$ の関係を示せ。（10点）

题目描述

如图所示，一块厚度为 $L$、导热系数为 $k$ 的平板内部均匀发热，两侧均由温度为 $T_f$ 的流体冷却。左右两侧的对流换热系数分别为 $h_1,h_2$，单位时间、单位体积的发热量为 $G$。回答下列问题。设导热系数和对流换热系数均不随温度变化，热量仅沿 $x$ 方向传递，并可假定为稳态。（50分）

1) 由平板内部微小控制体的热量平衡，推导以下一维稳态导热方程：（10分）

$$\frac{d^2T}{dx^2}+\frac Gk=0.$$

其中，$T$ 为平板任意位置的温度，$x$ 为距平板左端的距离。

2) 设平板左、右表面温度分别为 $T_1,T_2$，求解该导热方程，得到板内温度分布。（10分）

3) 求平板左、右表面的热流密度 $q_1,q_2$。测得两表面温度满足

$$T_1-T_2=\frac{GL^2}{4k},$$

从本问起均假设该条件成立。（10分）

4) 分别用 $T_f,h_1,G,L$ 表示 $T_1$，用 $T_f,h_2,G,L$ 表示 $T_2$。（10分）

5) 给出 $h_1$ 与 $h_2$ 之间的关系。（10分）

Kai

(1)

$+x$ 向きの熱流束を $q_x$ とする。断面積1、幅 $dx$ の検査体積では

$$\begin{gathered} q_x(x)+G\,dx=q_x(x+dx),\\ q_x=-k\frac{dT}{dx}. \end{gathered}$$

よって $dq_x/dx=G$ から $\boxed{d^2T/dx^2+G/k=0}$。

(2)

2回積分し、$T(0)=T_1$、$T(L)=T_2$ を代入すると

$$\boxed{T(x)=-\frac{G}{2k}x^2+ \left(\frac{T_2-T_1}{L}+\frac{GL}{2k}\right)x+T_1}.$$

(3)

与えられた温度差より

$$q_x(x)=-kT'(x)=Gx-\frac{GL}{4}.$$

したがって $+x$ 向きを正とした表面熱流束は

$$\boxed{\begin{gathered} q_1=q_x(0)=-\frac{GL}{4},\\ q_2=q_x(L)=\frac{3GL}{4} \end{gathered}}.$$

平板から流体への流出量を正に表すなら、左側は $GL/4$、右側は $3GL/4$ で、合計は全発熱量 $GL$ である。

(4)

両表面の対流熱伝達条件は $h_1(T_1-T_f)=GL/4$、$h_2(T_2-T_f)=3GL/4$ なので

$$\boxed{T_1=T_f+\frac{GL}{4h_1},\qquad T_2=T_f+\frac{3GL}{4h_2}}.$$

(5)

表面温度差の式から

$$\frac{GL}{4}\left(\frac1{h_1}-\frac3{h_2}\right)=\frac{GL^2}{4k}.$$

従って

$$\boxed{\frac1{h_1}-\frac3{h_2}=\frac Lk},\qquad \boxed{h_2=\frac{3kh_1}{k-Lh_1}}.$$

正の熱伝達率に対しては $h_1<k/L$ かつ $h_2>3h_1$ である。