九州大学 工学府 機械系専攻 2012年度 熱工学 問1

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• 奥托循环
• 热力学熵

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

理論オットーサイクルの $p$–$v$ 線図を下図に示す。作動ガスは温度によらず比熱一定の理想気体、比熱比を $\kappa$ とする。状態1、2における圧力を $p_1,p_2$、比容積を $v_1,v_2$ とする。（70点）

1. 可逆断熱圧縮 $1\to2$ における単位質量あたりの仕事 $l_{12}$ を、$p_1,v_1,v_2,\kappa$ のみで表せ。（10点）
2. 等積加熱 $2\to3$ の単位質量あたりの加熱量が $q$ のとき、$p_3$ を $p_1,v_1,v_2,\kappa,q$ で表せ。（10点）
3. 断熱膨張 $3\to4$ の単位質量あたりの仕事 $l_{34}$ を $p_1,v_1,v_2,\kappa,q$ で表せ。また、サイクルの単位質量あたりの正味仕事と熱効率 $\eta$ を求めよ。（25点）
4. 温度を $T$、単位質量あたりのエントロピーを $s$ として、このサイクルの $T$–$s$ 線図を描け。（10点）
5. 状態3から圧力が $p_1$ に等しくなるまで断熱膨張し、その後、等圧過程で状態1に戻るように変更すると、熱効率は元のサイクルと比較してどうなるか。理由も説明せよ。（15点）

题目描述

对理想 Otto 循环计算压缩功、加热后压力、膨胀功、净功和效率，画 $T$–$s$ 图，并比较扩大膨胀至初压后定压回程的效率。功取气体对外做功为正。

Kai

気体が外部にする仕事を正とする。圧縮比を $\varepsilon=v_1/v_2>1$ とおく。

(1)

可逆断熱関係 $pv^\kappa=p_1v_1^\kappa$ より

$$\boxed{l_{12}=\int_{v_1}^{v_2}p\,dv =\frac{p_1v_1}{\kappa-1}\left[1-\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa-1}\right]<0}.$$

(2)

等積過程で $q=c_v(T_3-T_2)=(p_3-p_2)v_2/(\kappa-1)$。したがって

$$\boxed{p_3=p_1\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^\kappa+\frac{(\kappa-1)q}{v_2}}.$$

(3)

$v_4=v_1$、$p_4=p_3(v_2/v_1)^\kappa$ より

$$\begin{aligned} l_{34}&=\frac{p_3v_2-p_4v_1}{\kappa-1}\\ &=\boxed{\frac{p_1v_1}{\kappa-1} \left[\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa-1}-1\right] +q\left[1-\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{\kappa-1}\right]}. \end{aligned}$$

等積過程の仕事は零なので

$$\boxed{l_{\mathrm{net}}=q\left[1-\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{\kappa-1}\right],\qquad \eta=1-\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{\kappa-1}}.$$

(4)

断熱過程では $s_2=s_1$、$s_4=s_3$ である。等積過程では $ds=c_vdT/T$ より $T\propto e^{s/c_v}$。したがって $1\to2$ と $3\to4$ は縦線、$2\to3$ と $4\to1$ は図の曲線となる。

(5)

変更後の膨張終点を $4'$ とする。$q>0$ なので $p_4>p_1$、従って $v_{4'}>v_1$。加熱過程 $2\to3$ は同じで、投入熱量は $q$ のままである。一方、右図の着色面積だけ正味仕事が増える。

$$\Delta l=\int_{v_1}^{v_{4'}}\{p_3(v_2/v)^\kappa-p_1\}\,dv>0.$$

したがって $\boxed{\eta_{\mathrm{new}}=\eta+\Delta l/q>\eta}$。追加の膨張で得る仕事が、それに伴う等圧圧縮の仕事を上回るためである。