九州大学 工学府 機械系専攻 2012年度 材料力学 問4

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• 梁的挠度
• 扭转
• 应变能

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように $x\to y\to x$ 方向へ直角に折れ曲がった丸棒 ABCD は A で固定され、AB $=a$、BC $=b$、CD $=c$ である。先端 D に鉛直下向きの荷重 $P$ とねじりモーメント $T$ が作用する。丸棒の直径を $d$、ヤング率を $E$、ポアソン比を $\nu$ とする。D の $yz$ 平面内の角度変化（ねじれ角）$\theta$ と $z$ 方向変位 $\delta_z$ を求めよ。

题目描述

圆杆 ABCD 从 A 起依次沿 $x,y,x$ 方向折成直角，三段长度为 $a,b,c$，A 固定。D 受竖直向下载荷 $P$ 及扭矩 $T$。杆直径为 $d$，材料参数为 $E,\nu$。求 D 在 $yz$ 平面内的转角及 $z$ 方向位移。

Kai

$+z$ は図の上向きとする。ここでは、$T>0$ および $\theta>0$ を $-x$ 軸まわり、すなわち荷重 $P$ が AB に生じさせるねじりと同じ向きに定義する。逆向きのトルクには $T<0$ を代入すればよい。下向き変位の大きさを $w=-\delta_z$ とおく。

$$I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad I_p=2I,\qquad G=\frac{E}{2(1+\nu)},\qquad GI_p=\frac{EI}{1+\nu}.$$

各部材の内力とひずみエネルギー

各部材の始点からの座標を $s$ とする。曲げ・ねじりモーメントの大きさは

部材	曲げモーメント	ねじりモーメント
AB	$P(a+c-s)$	$T+Pb$
BC	$T+P(b-s)$	$Pc$
CD	$P(c-s)$	$T$

したがって

$$\begin{aligned} U={}&\frac{P^2}{2EI}\left[ \int_0^a(a+c-s)^2\,ds+\int_0^c(c-s)^2\,ds\right]\\ &+\frac1{2EI}\int_0^b\{T+P(b-s)\}^2\,ds\\ &+\frac{a(T+Pb)^2+bP^2c^2+cT^2}{2GI_p}. \end{aligned}$$

ねじれ角

Castigliano の定理から

$$\theta=\frac{\partial U}{\partial T} =\frac{a(T+Pb)+cT}{GI_p} +\frac{Tb+Pb^2/2}{EI}.$$

よって

$$\boxed{\theta=\frac1{EI}\left[ T\{(1+\nu)(a+c)+b\} +P\left\{(1+\nu)ab+\frac{b^2}{2}\right\}\right]}.$$

$Pb^2/(2EI)$ は BC のせん断力 $P$ による曲げ回転であり、D の $x$ 軸まわりの角度変化に含まれる。

鉛直変位

同じエネルギーを $P$ で微分して

$$\begin{aligned} w&=\frac{\partial U}{\partial P}\\ &=\frac{P}{EI}\left[\frac{(a+c)^3+b^3}{3} +(1+\nu)(ab^2+bc^2)\right] +\frac{T}{EI}\left[\frac{b^2}{2}+(1+\nu)ab\right]. \end{aligned}$$

したがって図の上向きを正とした変位は

$$\boxed{\delta_z=-\frac1{EI}\left[ P\left\{\frac{(a+c)^3+b^3}{3}+(1+\nu)(ab^2+bc^2)\right\} +T\left\{\frac{b^2}{2}+(1+\nu)ab\right\}\right]}.$$

両答えは相反関係 $\partial w/\partial T=\partial\theta/\partial P$ を満たす。