九州大学 工学府 機械系専攻 2011年8月実施 材料力学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

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次の問に答えよ。（35点）

内圧 $p$ をうける薄肉円筒について，図1のように上端を固定し，下端に質量 $M$ のおもりをぶら下げる。軸方向の中央付近における直径方向変形量 $\Delta d$ を求めよ。ただし，ヤング率は $E$，ポアソン比は $\nu$ とし，薄肉円筒の自重の影響は無視する。重力加速度を $g$ とする。

図中の円筒長さ，直径，肉厚をそれぞれ $L,d,h$ とし，$L\gg d\gg h$ である。

题目描述

回答下列问题。（35分）

承受内压 $p$ 的薄壁圆筒如图1，上端固定，下端悬挂质量为 $M$ 的重物。求轴向中央附近的直径变化量 $\Delta d$。杨氏模量为 $E$，泊松比为 $\nu$，忽略圆筒自重，重力加速度为 $g$。

图中圆筒长度、直径、壁厚分别为 $L,d,h$，满足 $L\gg d\gg h$。

Kai

軸方向を $x$、円周方向を $y$ とする。内圧による端面力におもりの重力が加わるので、軸方向応力は

$$\begin{gathered} \sigma_x\pi dh=p\frac{\pi d^2}{4}+Mg,\\ \sigma_x=\frac{pd}{4h}+\frac{Mg}{\pi dh}. \end{gathered}$$

円筒の軸を含む面で切断した半円筒のつり合いから、円周方向応力は

$$\sigma_y=\frac{pd}{2h}.$$

薄肉近似では半径方向応力を省略できるため

$$\varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}.$$

円周の変化率は直径の変化率と等しいので

$$\boxed{\Delta d=d\varepsilon_y =\frac{pd^2(2-\nu)}{4Eh}-\frac{\nu Mg}{\pi Eh}}.$$

正なら直径が増え、負ならおもりによる軸方向引張りの Poisson 効果が優勢となって直径が縮む。