九州大学 工学府 機械系専攻 2012年度 材料力学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

内圧 $p$ を受ける薄肉円筒の上端を固定し、下端に質量 $M$ のおもりをつるす。円筒の長さは $L$、直径は $d$、肉厚は $h$ で、$L\gg d\gg h$ とする。ヤング率を $E$、ポアソン比を $\nu$、重力加速度を $g$ とし、円筒自身の重さを無視する。軸方向の中央付近における直径の変化 $\Delta d$ を求めよ。

题目描述

承受内压 $p$ 的薄壁圆筒上端固定，下端悬挂质量 $M$。圆筒长 $L$、直径 $d$、壁厚 $h$，且 $L\gg d\gg h$；材料参数为 $E,\nu$，重力加速度为 $g$，忽略圆筒自重。求中部的直径变化量 $\Delta d$。

Kai

軸方向を $x$、円周方向を $y$ とする。内圧による端面力におもりの重力が加わるので、軸方向応力は

$$\sigma_x\pi dh=p\frac{\pi d^2}{4}+Mg, \qquad \sigma_x=\frac{pd}{4h}+\frac{Mg}{\pi dh}.$$

円筒の軸を含む面で切断した半円筒のつり合いから、円周方向応力は

$$\sigma_y=\frac{pd}{2h}.$$

薄肉近似では半径方向応力を省略できるため

$$\varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}.$$

円周の変化率は直径の変化率と等しいので

$$\boxed{\Delta d=d\varepsilon_y =\frac{pd^2(2-\nu)}{4Eh}-\frac{\nu Mg}{\pi Eh}}.$$

正なら直径が増え、負ならおもりによる軸方向引張りの Poisson 効果が優勢となって直径が縮む。