九州大学 工学府 機械系専攻 2011年8月実施 流体工学 問3 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 図のように，鉛直面に立てられた半径 R R R L L L H H H h h h ( h < H ) (h<H) ( h < H ) ω \omega ω t = 0 t=0 t = 0 g g g R R R L , H L,H L , H h h h
(1) 時刻 t t t θ \theta θ R ≫ h R\gg h R ≫ h R ≫ L R\gg L R ≫ L R R R
(2) 水槽が1回転する間に水槽中の水がこぼれないための，水深 h h h
tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β を用いてよい。
题目描述
如图所示，在竖直面内半径为 R R R L L L H H H h h h h < H h<H h < H ω \omega ω t = 0 t=0 t = 0 g g g R R R L , H , h L,H,h L , H , h
(1) 求时刻 t t t θ \theta θ R ≫ h R\gg h R ≫ h R ≫ L R\gg L R ≫ L R R R
(2) 求水槽转动一周期间槽内水不溢出的水深 h h h
tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β . \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}. tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β . Kai (1)
ϕ = ω t \phi=\omega t ϕ = ω t a = R ω 2 > g a=R\omega^2>g a = R ω 2 > g x x x y y y
1 ρ ∇ p = ( a sin ϕ , − g − a cos ϕ ) . \frac{1}{\rho}\nabla p=(a\sin\phi,-g-a\cos\phi). ρ 1 ∇ p = ( a sin ϕ , − g − a cos ϕ ) . 自由面上で d p = 0 dp=0 d p = 0
tan θ = a sin ϕ g + a cos ϕ . \tan\theta=\frac{a\sin\phi}{g+a\cos\phi}. tan θ = g + a cos ϕ a sin ϕ . 象限も含めて水面の向きを表すには
θ = atan2 ( a sin ϕ , g + a cos ϕ ) ( m o d π ) \boxed{\theta=\operatorname{atan2}(a\sin\phi,\ g+a\cos\phi)\pmod\pi} θ = atan2 ( a sin ϕ , g + a cos ϕ ) ( mod π ) とすればよい。分母がゼロの時刻では水面は鉛直であり、単一の逆正接の主値に固定しない。
(2)
槽底の水平に対する角度は ϕ \phi ϕ
s ( ϕ ) = ∣ tan ( ϕ − θ ) ∣ = g ∣ sin ϕ ∣ a + g cos ϕ . s(\phi)=|\tan(\phi-\theta)|
=\frac{g|\sin\phi|}{a+g\cos\phi}. s ( ϕ ) = ∣ tan ( ϕ − θ ) ∣ = a + g cos ϕ g ∣ sin ϕ ∣ . a > g a>g a > g cos ϕ = − g / a \cos\phi=-g/a cos ϕ = − g / a
s max = g a 2 − g 2 . \boxed{s_{\max}=\frac{g}{\sqrt{a^2-g^2}}}. s m a x = a 2 − g 2 g . 槽底全体が水で覆われる場合、高い側の水深は h + L s / 2 h+Ls/2 h + L s /2
h ≤ H − L g 2 ( R ω 2 ) 2 − g 2 . h\le H-\frac{Lg}{2\sqrt{(R\omega^2)^2-g^2}}. h ≤ H − 2 ( R ω 2 ) 2 − g 2 Lg . 題文は局所的な底面露出を排除していないため、小水量の場合も含める。傾斜が s s s d d d L h Lh L h
L h = { L ( d − s L / 2 ) , d ≥ s L , d 2 / ( 2 s ) , 0 ≤ d < s L . Lh=\begin{cases}
L(d-sL/2),&d\ge sL,\\
d^2/(2s),&0\le d<sL.
\end{cases} L h = { L ( d − s L /2 ) , d 2 / ( 2 s ) , d ≥ s L , 0 ≤ d < s L . 後者は底の一部が露出した三角形断面である。最悪の傾斜 s max s_{\max} s m a x d ≤ H d\le H d ≤ H
h ≤ { H − L s max 2 , L s max ≤ H , H 2 2 L s max , L s max > H . \boxed{\quad h\le
\begin{cases}
H-\dfrac{Ls_{\max}}2,&Ls_{\max}\le H,\\[4pt]
\dfrac{H^2}{2Ls_{\max}},&Ls_{\max}>H.
\end{cases}\quad} h ≤ ⎩ ⎨ ⎧ H − 2 L s m a x , 2 L s m a x H 2 , L s m a x ≤ H , L s m a x > H . 等号は液面が縁に達する限界である。縁まで余裕を持たせるなら不等号を厳密にする。
