九州大学工学府機械系専攻 2012年度流体工学問3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

鉛直面内の半径 $R$ の円形レール上に、幅 $L$ 、深さ $H$ の直方体の水槽がある。静止時の水深は $h<H$ である。水槽は一定角速度 $\omega$ でレール上を反時計回りに動き、 $t=0$ に最下部を通る。水面形状の変化は十分速く、準定常状態を仮定できる。

重力加速度を $g$ とする。 $R$ は $L,H,h$ より十分に大きく、遠心力は重力より大きい。（50点）

時刻 $t$ の水面が水平方向となす角 $\theta$ を求めよ。中心から水面までの距離は $R$ と近似してよい。
一回転中に水がこぼれないための水深 $h$ の条件を求めよ。必要なら $\tan(\alpha-\beta)=(\tan\alpha-\tan\beta)/(1+\tan\alpha\tan\beta)$ を用いよ。

原題の図（九州大学 2012年度流体工学問3）

宽 $L$ 、深 $H$ 的矩形水槽沿半径 $R$ 的竖直圆轨道以角速度 $\omega$ 逆时针运动， $t=0$ 位于最低点。静止水深为 $h<H$ ， $R$ 远大于槽的尺寸，离心加速度 $R\omega^2>g$ ，液面可视为准定常。求液面相对水平的角度，以及整圈运动不溢水的水深条件。

$\phi=\omega t$ 、 $a=R\omega^2>g$ とおく。固定座標を右向き $x$ 、上向き $y$ とすると、槽に対して静止した流体の有効体積力は

\frac{1}{\rho}\nabla p=(a\sin\phi,-g-a\cos\phi).

自由面上で $dp=0$ だから

\tan\theta=\frac{a\sin\phi}{g+a\cos\phi}.

象限も含めて水面の向きを表すには

\boxed{\theta=\operatorname{atan2}(a\sin\phi,\ g+a\cos\phi)\pmod\pi}

とすればよい。分母がゼロの時刻では水面は鉛直であり、単一の逆正接の主値に固定しない。

槽底の水平に対する角度は $\phi$ である。水面の槽底に対する傾斜の大きさは

s(\phi)=|\tan(\phi-\theta)| =\frac{g|\sin\phi|}{a+g\cos\phi}.

$a>g$ なので分母は正である。最大値は $\cos\phi=-g/a$ で生じ、

\boxed{s_{\max}=\frac{g}{\sqrt{a^2-g^2}}}.

槽底全体が水で覆われる場合、高い側の水深は $h+Ls/2$ である。したがって、この場合の条件は

h\le H-\frac{Lg}{2\sqrt{(R\omega^2)^2-g^2}}.

題文は局所的な底面露出を排除していないため、小水量の場合も含める。傾斜が $s$ のとき高い側の水深を $d$ とすれば、単位奥行き当たりの水量 $Lh$ は

Lh=\begin{cases} L(d-sL/2),&d\ge sL,\\ d^2/(2s),&0\le d<sL. \end{cases}

後者は底の一部が露出した三角形断面である。最悪の傾斜 $s_{\max}$ で $d\le H$ を課せば、一般的な不溢水条件は

\boxed{\quad h\le \begin{cases} H-\dfrac{Ls_{\max}}2,&Ls_{\max}\le H,\\[4pt] \dfrac{H^2}{2Ls_{\max}},&Ls_{\max}>H. \end{cases}\quad}

等号は液面が縁に達する限界である。縁まで余裕を持たせるなら不等号を厳密にする。