九州大学工学府機械系専攻 2012年度流体工学問2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

幅 $A$ の二次元ダクト（主管）の側面に、幅 $A/2$ の二次元ダクト（枝管）が直角に取り付けられている。分岐前の水の流速は $V$ 、分岐後の主管と枝管の体積流量の比は $4:1$ である。壁面摩擦を無視し、各管の十分上流・下流では流れは一様とする。（50点）

主管流れを考える際、枝管へ流出する水は主管軸方向の速度成分 $V$ を保ったまま流出すると仮定する。主管を流れる水の分岐損失係数 $\zeta_1$ を求めよ。
枝管では入口で一旦はく離した後、再付着して下流で一様になる。有効流路幅が最小値 $cA/2$ （ $c$ は縮流係数）となった位置から再付着までの拡大損失のみが生じるとする。主管から枝管へ流れる水の分岐損失係数 $\zeta_2$ を求めよ。

原題の図（九州大学 2012年度流体工学問2）

宽度 $A$ 的二维主管上垂直接出宽度 $A/2$ 的支管，分流前速度为 $V$ ，分流后主管与支管流量比为 $4:1$ 。忽略壁面摩擦。求主管分流损失系数，其中进入支管的流体在离开主管控制体时仍保留轴向速度 $V$ ；再求支管由宽 $cA/2$ 的缩流区重新附着扩张产生的损失系数。

単位奥行き当たりの流量を用いる。連続の式より、主管下流と枝管下流の速度は

V_1=\frac45V,\qquad V_2=\frac25V.

以下、損失係数の基準を主管上流速度 $V$ とし、 $h_L=\zeta V^2/(2g)$ と定義する。

主管上流・下流の圧力を $p,p_1$ とする。主管軸方向の運動量式は、枝管へ出る流量 $AV/5$ が速度成分 $V$ を持つことから

(p-p_1)A=\rho\left[\frac{4AV}{5}\frac{4V}{5} +\frac{AV}{5}V-AV^2\right] =-\frac4{25}\rho AV^2.

したがって、全圧の減少より

\zeta_1=\frac{2(p-p_1)}{\rho V^2}+1-\left(\frac{V_1}{V}\right)^2 =-\frac8{25}+1-\frac{16}{25} =\boxed{\frac1{25}}.

縮流部の速度は $V_c=V_2/c=2V/(5c)$ である。拡大損失は運動量式とエネルギー式から

h_L=\frac{(V_c-V_2)^2}{2g}.

よって、主管上流速度を基準にすれば

\boxed{\zeta_2=\frac4{25}\left(\frac1c-1\right)^2}.

基準速度を変える場合の同じ損失の表現は

h_L=\underbrace{\left(\frac1c-1\right)^2}_{V_2\text{ 基準}}\frac{V_2^2}{2g} =\underbrace{(1-c)^2}_{V_c\text{ 基準}}\frac{V_c^2}{2g}.

係数だけを比べず、対応する速度水頭と併せて用いる。