九州大学 工学府 機械系専攻 2011年8月実施 流体工学 問2

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• 控制体动量守恒
• 局部水头损失

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

一般に，分岐管流れにおいては圧力損失が生じることが知られている。ここでは，図aに示すように，幅 $A$ の二次元ダクト（主管）の側面に幅 $A/2$ の二次元ダクト（枝管）が直角に取り付けられた分岐管内を流れる水の圧力損失について考える。分岐前は水が流速 $V$ で主管内を流れており，分岐後の主管と枝管を流れる水の体積流量の割合は $4:1$ であった。以下の問いに従って，分岐管の損失係数を求めよ。ただし，壁面の摩擦は無視できるとし，主管の十分上流・下流および枝管の十分下流において流れは一様であるとする。（50点）

(1) 主管内流れを考える際には，図bに示すように，枝管へ流出する水は主管の管軸方向の速度成分 $V$ を保持したまま流出すると仮定する。このとき，主管を流れる水の分岐損失係数 $\zeta_1$ を求めよ。

(2) 枝管内流れは，図cに示すように，その入口部で一旦はく離し，再付着したのちに下流で一様化すると仮定する。このときに生じる圧力損失は，有効流路幅が最小（$cA/2$，$c$ は縮流係数）となってから再付着するまでの拡大損失が主であるとし，他の損失は無視できるとする。主管から枝管へ流れる水の分岐損失係数 $\zeta_2$ を求めよ。

题目描述

通常，分支管道中的流动会产生压力损失。这里考察图a所示分支管道内水流的压力损失：在宽度为 $A$ 的二维通道（主管）侧面，垂直连接一条宽度为 $A/2$ 的二维通道（支管）。分流前水以速度 $V$ 在主管内流动，分流后主管与支管中的水的体积流量比为 $4:1$。按下列问题求分支管道的损失系数。设壁面摩擦可忽略，主管足够远的上游、下游以及支管足够远的下游处，流动均匀。（50分）

(1) 考察主管内流动时，如图b所示，假设流向支管的水在流出时仍保持沿主管轴向的速度分量 $V$。求主管中水流的分支损失系数 $\zeta_1$。

(2) 假设支管内的水流如图c所示，在入口处先发生分离，重新附着后在下游变为均匀流。此时的压力损失主要来自有效流道宽度达到最小值 $cA/2$ 后至重新附着期间的扩张损失，其中 $c$ 为收缩系数；其余损失均可忽略。求由主管流入支管的水流的分支损失系数 $\zeta_2$。

Kai

単位奥行き当たりの流量を用いる。連続の式より、主管下流と枝管下流の速度は

$$V_1=\frac45V,\qquad V_2=\frac25V.$$

以下、損失係数の基準を主管上流速度 $V$ とし、$h_L=\zeta V^2/(2g)$ と定義する。

(1)

主管上流・下流の圧力を $p,p_1$ とする。主管軸方向の運動量式は、枝管へ出る流量 $AV/5$ が速度成分 $V$ を持つことから

$$\begin{gathered} (p-p_1)A=\rho\left[\frac{4AV}{5}\frac{4V}{5} +\frac{AV}{5}V-AV^2\right]\\ =-\frac4{25}\rho AV^2. \end{gathered}$$

したがって、全圧の減少より

$$\begin{gathered} \zeta_1=\frac{2(p-p_1)}{\rho V^2}+1-\left(\frac{V_1}{V}\right)^2\\ =-\frac8{25}+1-\frac{16}{25}\\ =\boxed{\frac1{25}}. \end{gathered}$$

(2)

縮流部の速度は $V_c=V_2/c=2V/(5c)$ である。拡大損失は運動量式とエネルギー式から

$$h_L=\frac{(V_c-V_2)^2}{2g}.$$

よって、主管上流速度を基準にすれば

$$\boxed{\zeta_2=\frac4{25}\left(\frac1c-1\right)^2}.$$

基準速度を変える場合の同じ損失の表現は

$$h_L=\underbrace{\left(\frac1c-1\right)^2}_{V_2\text{ 基準}}\frac{V_2^2}{2g} =\underbrace{(1-c)^2}_{V_c\text{ 基準}}\frac{V_c^2}{2g}.$$

係数だけを比べず、対応する速度水頭と併せて用いる。