九州大学 工学府 機械系専攻 2011年8月実施 流体工学 問1 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 2つの十分に大きな開放タンクIとIIIが密閉タンクIIを介して，図のように接続されている。タンクIから，深さ H H H D D D L L L Q Q Q H H H p G p_G p G d d d l l l ( Q / 2 ) (Q/2) ( Q /2 ) h h h ( Q / 2 ) (Q/2) ( Q /2 ) λ \lambda λ ζ \zeta ζ g g g ρ \rho ρ
(1) 体積流量 Q Q Q
(2) タンクII内のガス圧 p G p_G p G
(3) 下管に付設の弁の損失係数 ζ \zeta ζ
を他の物理量 ( H , h , D , d , L , l , ρ , λ , g ) (H,h,D,d,L,l,\rho,\lambda,g) ( H , h , D , d , L , l , ρ , λ , g )
题目描述
如图所示，两个足够大的敞口水槽I和III通过密闭水槽II连接。水以体积流量 Q Q Q H H H D D D L L L H H H p G p_G p G d d d l l l Q / 2 Q/2 Q /2 h h h Q / 2 Q/2 Q /2 λ \lambda λ ζ \zeta ζ g g g ρ \rho ρ
用其余物理量 ( H , h , D , d , L , l , ρ , λ , g ) (H,h,D,d,L,l,\rho,\lambda,g) ( H , h , D , d , L , l , ρ , λ , g )
(1) 体积流量 Q Q Q
(2) 水槽II内气体的压力 p G p_G p G
(3) 下管所装阀门的损失系数 ζ \zeta ζ
Kai 断面積と損失係数を
A D = π D 2 4 , A d = π d 2 4 , K D = 1 + λ L D , K d = 1 + λ l d \begin{gathered}
A_D=\frac{\pi D^2}{4},\\
A_d=\frac{\pi d^2}{4},\\
K_D=1+\frac{\lambda L}{D},\\
K_d=1+\frac{\lambda l}{d}
\end{gathered} A D = 4 π D 2 , A d = 4 π d 2 , K D = 1 + D λ L , K d = 1 + d λ l とおく。v = Q / A D v=Q/A_D v = Q / A D u = Q / ( 2 A d ) u=Q/(2A_d) u = Q / ( 2 A d )
− p G ρ g = K D v 2 2 g , H + p G ρ g = K d u 2 2 g . -\frac{p_G}{\rho g}=K_D\frac{v^2}{2g},\qquad
H+\frac{p_G}{\rho g}=K_d\frac{u^2}{2g}. − ρ g p G = K D 2 g v 2 , H + ρ g p G = K d 2 g u 2 . (1)
二式を加えて圧力を消すと
Q = 2 g H K D / A D 2 + K d / ( 4 A d 2 ) = π D 2 d 2 2 g H 2 4 K D d 4 + K d D 4 . \boxed{\begin{gathered}
Q=\sqrt{\frac{2gH}{K_D/A_D^2+K_d/(4A_d^2)}}\\
=\frac{\pi D^2d^2\sqrt{2gH}}{2\sqrt{4K_Dd^4+K_dD^4}}
\end{gathered}}. Q = K D / A D 2 + K d / ( 4 A d 2 ) 2 g H = 2 4 K D d 4 + K d D 4 π D 2 d 2 2 g H . (2)
p G = − ρ K D Q 2 2 A D 2 = − ρ g H 4 K D d 4 4 K D d 4 + K d D 4 . \boxed{\begin{gathered}
p_G=-\frac{\rho K_DQ^2}{2A_D^2}\\
=-\rho gH\frac{4K_Dd^4}{4K_Dd^4+K_dD^4}
\end{gathered}}. p G = − 2 A D 2 ρ K D Q 2 = − ρ g H 4 K D d 4 + K d D 4 4 K D d 4 . 水面高さが等しいIからIIへ流れるには、IIのガス圧は大気圧より低くなければならない。
(3)
下管ではIIの水面とIIIの水面の高さの差が H + h H+h H + h
H + h + p G ρ g = ( K d + ζ ) u 2 2 g . H+h+\frac{p_G}{\rho g}=(K_d+\zeta)\frac{u^2}{2g}. H + h + ρ g p G = ( K d + ζ ) 2 g u 2 . 上管の式との差をとれば
ζ = 2 g h u 2 = 8 g h A d 2 Q 2 = h H ( K d + 4 K D d 4 D 4 ) . \boxed{\begin{gathered}
\zeta=\frac{2gh}{u^2}\\
=\frac{8ghA_d^2}{Q^2}\\
=\frac hH\left(K_d+4K_D\frac{d^4}{D^4}\right)
\end{gathered}}. ζ = u 2 2 g h = Q 2 8 g h A d 2 = H h ( K d + 4 K D D 4 d 4 ) . 