九州大学 工学府 機械系専攻 2012年度 機械力学 問1

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• 简正模与耦合振子

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

質量 $m$ の直方体が、左右のばね定数 $k$ のばねで支持され、滑らかな水平面上を動く。直方体の点 O には、質量 $M$、重心 G まわりの慣性モーメント $I$、OG 間距離 $L$ の物理振り子が取り付けられている。左支持部を $u(t)=A\sin\Omega t$ で加振し、右支持部は固定する。O の座標を $(x,0)$、下向き鉛直からの振り子角を $\theta$ とし、$u=x=\theta=0$ が平衡である。（50 点）

1. 運動エネルギー $T$、ポテンシャルエネルギー $U$ を求めよ。
2. $x,\theta$ に関する線形化した Lagrange 方程式を求めよ。
3. $x,\theta$ の定常解を求めよ。
4. 振り子がない 1 自由度系が共振しているとき、振り子を付けて直方体の振動を抑えたい。振り子の設計条件を示せ。

题目描述

左右各一根刚度 $k$ 的弹簧支承质量 $m$ 的物体，左支点作正弦运动。物体上铰接质量 $M$、重心惯量 $I$、支点至重心距离 $L$ 的物理摆。求能量、线性运动方程和谐波稳态响应；再求把摆用作动力吸振器、抑制原物体共振的设计条件。

Kai

(1)

$G=(x+L\sin\theta,L\cos\theta)$ とし、鉛直下向きを正とする。

$$\boxed{T=\frac12(m+M)\dot x^2+ML\dot x\dot\theta\cos\theta +\frac12(I+ML^2)\dot\theta^2,}$$

$$\boxed{U=\frac k2(x-u)^2+\frac k2x^2-MgL\cos\theta.}$$

(2)

$J=I+ML^2$ とおく。微小振動の方程式は

$$\boxed{(m+M)\ddot x+ML\ddot\theta+2kx=kA\sin\Omega t,\qquad ML\ddot x+J\ddot\theta+MgL\theta=0.}$$

(3)

$$D(\Omega)=[2k-(m+M)\Omega^2](MgL-J\Omega^2)-M^2L^2\Omega^4$$

と定義する。$D\ne0$ の場合、$x=X\sin\Omega t$、$\theta=\Theta\sin\Omega t$ を代入して

$$\boxed{x(t)=\frac{kA(MgL-J\Omega^2)}{D(\Omega)}\sin\Omega t,\qquad \theta(t)=\frac{kAML\Omega^2}{D(\Omega)}\sin\Omega t.}$$

共振点 $D=0$ では、一般に有界な調和定常解は存在しない。

(4)

振り子がない系の共振は $\Omega^2=2k/m$。この周波数で $X=0$ とするには

$$\boxed{\frac{MgL}{I+ML^2}=\frac{2k}{m}.}$$

すなわち振り子単体の固有角振動数を加振角振動数に一致させる。等価振り子長で書けば

$$\boxed{L+\frac I{ML}=\frac{mg}{2k}.}$$

このとき $D=-M^2L^2\Omega^4\ne0$ で、直方体は静止し、振り子は $\Theta=-kA/(ML\Omega^2)$ の振幅で外力を打ち消す。