九州大学 工学府 機械系専攻 2010年8月実施 流体工学 問2

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• 控制体动量守恒
• 升力与阻力

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように水平な幅 $2B$ の二次元流路の中央に柱状物体が設置されており，密度 $\rho$ の非圧縮流体が流れている。物体の十分上流の断面①では，流れは一様であり，その速度は $U$ である。物体の直ぐ下流の断面②において，図のとおり，速度分布は流路中心軸に対して対称であり，物体後流部で直線分布（中心軸上で速度ゼロ）を，後流部の外側で一様分布をなしている。また，この断面②での圧力分布は一様である。さらに，物体の十分下流の断面③において，流れは再び一様になり，断面①から断面③までの圧力降下量 $(p_1-p_3)$ は断面①での動圧の $1/5$ である。このとき，流路壁面上の摩擦力を無視するとともに，物体後流部の外側では損失は発生していないとして，次の問いに答えよ。なお，紙面に垂直な方向には単位長さ当たりを考えよ。（50点）

(1) 柱状物体に作用する抗力 $D$ を，$B,\rho$ および $U$ を用いて表せ。

(2) 断面②における物体後流部の外側の一様速度 $U_2$ と上流断面での一様速度 $U$ との比を求めよ。

(3) 断面②における物体後流の半幅 $\delta$ と流路半幅 $B$ との比を求めよ。

题目描述

如图所示，宽度为 $2B$ 的水平二维流道中央放有柱状物体，密度为 $\rho$ 的不可压缩流体在流道中流动。在距物体足够远的上游截面①处，流动均匀，速度为 $U$。在紧靠物体下游的截面②处，速度分布如图所示，关于流道中心轴对称：物体尾流内为直线分布，中心轴上速度为零；尾流外为均匀分布。截面②上的压力分布也均匀。在距物体足够远的下游截面③处，流动再次变为均匀流；截面①至③的压力降 $(p_1-p_3)$ 为截面①动压的 $1/5$。忽略流道壁面的摩擦力，并假设物体尾流外不产生损失，回答下列问题。垂直于纸面的方向均按单位长度考虑。（50分）

(1) 用 $B,\rho,U$ 表示作用在柱状物体上的阻力 $D$。

(2) 求截面②处物体尾流外的均匀速度 $U_2$ 与上游截面均匀速度 $U$ 之比。

(3) 求截面②处物体尾流的半宽 $\delta$ 与流道半宽 $B$ 之比。

Kai

(1)

断面①と③の流量・面積は等しいため、断面③の速度も $U$ である。全体の運動量式から

$$\begin{gathered} D=2B(p_1-p_3)\\ =2B\cdot\frac15\frac{\rho U^2}{2}\\ =\boxed{\frac15\rho BU^2}. \end{gathered}$$

(2)

断面②で、中心からの距離を $y$ とすると後流内は $u=U_2|y|/\delta$ である。連続の式は

$$\begin{gathered} 2BU=2(B-\delta)U_2+2\int_0^\delta\frac{U_2y}{\delta}\,dy\\ =(2B-\delta)U_2. \end{gathered}$$

後流外側のベルヌーイ式より $p_1-p_2=\rho(U_2^2-U^2)/2$。断面①–②の運動量式は

$$2B(p_1-p_2)-D =\rho U_2^2\left(2B-\frac{4\delta}{3}\right)-2\rho BU^2.$$

$r=U_2/U$、$s=\delta/B$ とおくと

$$2=(2-s)r,\qquad \frac45=r^2\left(1-\frac{4s}{3}\right).$$

$s$ を消去すれば $25r^2-40r+12=0$、したがって $r=6/5$ または $2/5$。後者では $s<0$ になるため除外し、

$$\boxed{\frac{U_2}{U}=\frac65}.$$

(3)

$$\boxed{\frac\delta B=2-\frac2r=\frac13}.$$