九州大学 工学府 機械系専攻 2009年8月実施 流れ学 問1

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• 控制体动量守恒
• 伯努利方程

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図aに示すように，水平に置かれた二次元の上流ダクト（幅 $B_1$）と下流ダクト（幅 $B_2>B_1$）が滑らかに拡がる二次元ディフューザにより接続されており，このダクト内を密度 $\rho$ の水がはく離を起こすことなく流れている。ディフューザの十分上流の断面I，下流ダクト内の断面II，十分下流の断面IIIにおいて液柱計が設置されており，いずれの液柱計の上端も大気に開放されている。断面Iおよび断面IIIで流れが一様であるとして，以下の問いに答えよ。なお，重力加速度を $g$ とし，ダクト壁面の摩擦は無視せよ。（50点）

(1) 図aに示すようにディフューザ内に物体を設置しない場合，断面IとIIIの液柱計の液面高さの差が $h_1$ であった。断面I–III間で圧力損失が無視できるとして，体積流量 $Q$ を求めよ。

(2) 図bに示すようにディフューザ中央に円柱を設置し，(1)と同量の体積流量の水を流したところ，断面IIにおいて円柱後流の幅が最大値 $2b\ (<B_2)$ で，主流，後流とも一様な速度分布となり，断面IとIIで液柱計の液面高さが等しくなった。断面IIにおける主流と後流の流速を $U,cU\ (0<c<1)$ で表すとき，$U,c$ を求めよ。

(3) (2)のとき，断面IとIIIの液柱計の液面高さの差 $h_2$ を求めよ。

题目描述

如图a所示，水平放置的二维上游通道（宽度 $B_1$）和下游通道（宽度 $B_2>B_1$）由平滑扩张的二维扩散管连接，密度为 $\rho$ 的水在其中流动而不发生分离。在扩散管足够远的上游截面I、下游通道内的截面II和足够远的下游截面III处，分别装有测压管，各测压管上端均与大气相通。设截面I和III的流动均匀，回答下列问题。重力加速度为 $g$，忽略通道壁面摩擦。（50分）

(1) 如图a所示，扩散管内不放置物体时，截面I和III的测压管液面高度差为 $h_1$。设截面I至III之间的压力损失可忽略，求体积流量 $Q$。

(2) 如图b所示，在扩散管中央放入圆柱，并使水以与(1)相同的体积流量流动。在截面II处，圆柱尾流宽度达到最大值 $2b\ (<B_2)$，主流和尾流各自均具有均匀的速度分布，而且截面I和II的测压管液面高度相等。若将截面II处主流与尾流速度分别记作 $U,cU\ (0<c<1)$，求 $U,c$。

(3) 在(2)的情况下，求截面I和III的测压管液面高度差 $h_2$。

Kai

(1)

単位奥行き当たりの連続の式とベルヌーイの式から

$$\begin{gathered} v_1=\frac{Q}{B_1},\\ v_3=\frac{Q}{B_2},\\ \rho gh_1=\frac\rho2(v_1^2-v_3^2). \end{gathered}$$

よって

$$\boxed{Q=B_1B_2\sqrt{\frac{2gh_1}{B_2^2-B_1^2}}}.$$

(2)

後流外側の流線に沿って損失を無視してベルヌーイの式を用いる。$p_1=p_2$ なので

$$\boxed{U=\frac Q{B_1}=B_2\sqrt{\frac{2gh_1}{B_2^2-B_1^2}}}.$$

断面IIの連続の式から

$$\begin{gathered} Q=(B_2-2b)U+2bcU,\\ \boxed{c=1-\frac{B_2-B_1}{2b}}. \end{gathered}$$

$0<c<1$ と整合するには $B_2-B_1<2b<B_2$ である。

(3)

物体より下流の断面II–IIIを囲む検査体積では、壁面摩擦がなく、圧力による力が運動量流束の変化に等しい。

$$(p_2-p_3)B_2=\rho\frac{Q^2}{B_2} -\rho U^2(B_2-2b+2bc^2).$$

$p_1=p_2$ と $p_3-p_1=\rho gh_2$ を使い、(2)を代入して整理すると

$$\boxed{h_2=\frac{(B_2-B_1)(B_2-2b)}{b(B_1+B_2)}h_1}.$$

速度分布の混合によって圧力は回復するが、全圧は失われる。上の成立範囲では $0<h_2<h_1$ となる。