九州大学 工学府 土木工学専攻 2021年8月実施 数学 (ALL)

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• 九州大学
• 曲面面积
• 极坐标
• 恰当微分方程
• 积分因子
• 幂零矩阵
• 矩阵对角化
• 期望与方差
• 方差已知时正态均值的置信区间

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

試験問題は【問題1】から【問題6】の計6問です。すべての問題を解答してください。

【問題1】（15点）

関数 $y=x\log x$ の概形を、解答用紙に与えられた範囲内で示せ。この際、以下の2点に注意して作図すること。

• 図中の範囲内に極値あるいは変曲点があるかを調べた上で、存在する場合にはその座標の値を図中と解答欄に示せ。ない場合には「なし」と示すこと。
• $x$ 軸との交点は必ず求めること。また、この点での接線を、破線の直線で示し、この傾きの値を図中と解答欄に示せ。

【問題2】（15点）

双曲面 $z=f(x,y)=xy$ が円柱面 $x^2+y^2=4$ により切り取られる部分の表面積 $S$ を、以下の手順により求めよ。

(1) 求めるべき図形は原点に対して対称であることを使えば、$x\ge0,y\ge0$ の部分の表面積の4倍として評価できる。この部分領域を $D=\{(x,y)\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}$ として与えることにし、求めるべき表面積 $S$ を与える式を2重積分の形として $x,y$ を使って表せ（答えは $S=\text{○○}$ の形で解答すること）。このとき、2重積分の領域は部分領域 $D$ を使って与えること。

(2) (1) で与えた式を領域積分し、表面積 $S$ の値を求めよ。（(1) の結果を使わずに、そのまま求めても良い。）

【問題3】（24点）

1階の常微分方程式①を考える。以下の (1)～(3) の問いに答えよ。

$$X(x,y)\,dx+Y(x,y)\,dy=0.\tag{①}$$

(1) 式①が $\partial X/\partial y=\partial Y/\partial x$ を満たすとき、完全微分方程式（または完全微分形）という。完全微分方程式②の一般解を求めよ。

$$(y-x^3)\,dx+(x-\sin y)\,dy=0.\tag{②}$$

(2) 式①が完全微分方程式でない場合、式③のように両辺に $x,y$ の関数 $P(x,y)\ne0$ を乗じると完全微分方程式になることがある。このとき、$P(x,y)$ を積分因子（または積分因数）という。もし、積分因子が式④に示すように $y$ のみの関数 $Q(y)$ であるとき、$Q(y)$ は、$X,Y,x,y$ を用いてどのように表されるか、示せ。

なお、例えば、$X(x,y)$ の $y$ による偏微分は、$\partial X/\partial y$ のように表してよい。

$$P(x,y)X(x,y)\,dx+P(x,y)Y(x,y)\,dy=0.\tag{③}$$

$$Q(y)X(x,y)\,dx+Q(y)Y(x,y)\,dy=0.\tag{④}$$

(3) 微分方程式⑤は、$y$ のみの関数を積分因子として持つことがあらかじめ分かっている。(2) の結果を用いて、式⑤の一般解を求めよ。

$$(xy^2-y^3)\,dx+(1-xy^2)\,dy=0.\tag{⑤}$$

【問題4】（30点）

以下の (1)～(3) の問いに答えよ。

(1) 次の行列 $A$ について、$n$ 乗 $A^n$ を求めよ。$n$ は2以上の整数とする。

$$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

(2) 次の行列 $B$ について、$n$ 乗 $B^n$ を求めよ。$n$ は2以上の整数、$b\ne0$ とする。

$$B=\begin{pmatrix}b&1&0&0\\0&b&1&0\\0&0&b&1\\0&0&0&b\end{pmatrix}.$$

(3) 次の行列 $C$ を対角化せよ。

$$C=\begin{pmatrix}13&-30\\5&-12\end{pmatrix}.$$

【問題5】（8点）

確率密度が以下の $f(x)$ で与えられる連続分布について、平均と分散を求めよ。

$$f(x)=\begin{cases}2(1-x)&(0\le x\le1),\\0&(x<0,\ x>1).\end{cases}$$

【問題6】（8点）

A工場で製造された鉄筋から無作為に9本を選び、引張強度を測定したところ、標本平均 $\bar X$ は $500\,\mathrm{N/mm^2}$ であった。A工場で製造される鉄筋の引張強度は正規分布に従い、引張強度の母標準偏差 $\sigma$ が $75\,\mathrm{N/mm^2}$ であることが分かっているとき、A工場で製造される鉄筋の引張強度の母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求めよ。解答にあたり、下の附表を参照してよい。

附表：陰影部の面積の和が $\alpha$ となる $z$ の値

$\alpha$	$z$
0.01	2.576
0.02	2.326
0.05	1.960
0.10	1.645
0.20	1.282

题目描述

试卷共6题，全部作答。

问题1（15分） 在答题纸给出的范围内画出 $y=x\log x$ 的概形，注意以下两点。

• 判断图中范围内是否有极值点或拐点，若存在，在图中及答题栏标明坐标；不存在时写“无”。
• 必须求出与 $x$ 轴的交点，用虚线画出该点处的切线，并在图中及答题栏标明斜率。

作图范围见原图，两轴均为 $-0.5$ 到 $2.5$。

问题2（15分） 按以下步骤，求双曲面 $z=f(x,y)=xy$ 被圆柱面 $x^2+y^2=4$ 截取部分的表面积 $S$。

(1) 利用图形关于原点的对称性，可将面积算作 $x\ge0,y\ge0$ 部分的4倍。原文将这部分区域记为 $D=\{(x,y)\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}$。用 $x,y$ 将表面积 $S$ 表示为二重积分，答案写成 $S=\text{○○}$ 的形式，积分区域使用 $D$ 表示。

(2) 计算 (1) 中的区域积分，求 $S$ 的值。也可以不使用 (1) 的结果直接求解。

问题3（24分） 考虑一阶常微分方程①，回答 (1)～(3)。

$$X(x,y)\,dx+Y(x,y)\,dy=0.$$

(1) 当式①满足 $\partial X/\partial y=\partial Y/\partial x$ 时，称为恰当微分方程（全微分形式）。求式②的通解：

$$(y-x^3)\,dx+(x-\sin y)\,dy=0.$$

(2) 若式①不是恰当方程，有时像式③那样在两边乘以 $x,y$ 的非零函数 $P(x,y)$ 后可变为恰当方程，称 $P(x,y)$ 为积分因子。若积分因子像式④那样只依赖 $y$，记为 $Q(y)$，请用 $X,Y,x,y$ 表示 $Q(y)$。

例如，$X(x,y)$ 对 $y$ 的偏导数可以写作 $\partial X/\partial y$。

式③、④分别为

$$P(x,y)X(x,y)\,dx+P(x,y)Y(x,y)\,dy=0,$$

$$Q(y)X(x,y)\,dx+Q(y)Y(x,y)\,dy=0.$$

(3) 已知微分方程⑤具有只依赖 $y$ 的积分因子，利用 (2) 的结果求其通解：

$$(xy^2-y^3)\,dx+(1-xy^2)\,dy=0.$$

问题4（30分） 回答 (1)～(3)。

(1) 对以下矩阵 $A$ 求 $A^n$，其中 $n$ 为不小于2的整数。

$$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

(2) 对以下矩阵 $B$ 求 $B^n$，其中 $n$ 为不小于2的整数，$b\ne0$。

$$B=\begin{pmatrix}b&1&0&0\\0&b&1&0\\0&0&b&1\\0&0&0&b\end{pmatrix}.$$

(3) 对角化矩阵

$$C=\begin{pmatrix}13&-30\\5&-12\end{pmatrix}.$$

问题5（8分） 求概率密度为下式的连续分布的均值和方差。

$$f(x)=\begin{cases}2(1-x)&(0\le x\le1),\\0&(x<0,\ x>1).\end{cases}$$

问题6（8分） 从A工厂生产的钢筋中随机抽取9根，测得抗拉强度样本均值 $\bar X=500\,\mathrm{N/mm^2}$。已知该厂钢筋抗拉强度服从正态分布，总体标准差 $\sigma=75\,\mathrm{N/mm^2}$，求总体均值 $\mu$ 的95%置信区间。可以参考上方附图及附表；表中 $z$ 对应两侧阴影面积之和为 $\alpha$。

Kai

【問題 1】

定義域は $x>0$ であり、

$$y'=\log x+1,\qquad y''=\frac1x>0.$$

したがって、$0<x<e^{-1}$ で減少、$x>e^{-1}$ で増加し、極小点は $(e^{-1},-e^{-1})$、極大点と変曲点はない。$x$ 軸との交点は $(1,0)$、そこでの接線の傾きは $1$ で、接線は $y=x-1$ となる。また $\lim_{x\to0+}x\log x=0$ だが、原点はグラフに含まれない。

【問題 2】

原文の領域の表記 $D=\{(x,y)\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}$ は、円柱面の条件から $D=\{(x,y):x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}$ と解釈する。

(1)

曲面 $z=f(x,y)$ 上の点 $P=(x,y,f(x,y))$, $Q=(x+\Delta x,y,f(x+\Delta x,y))$, $R=(x,y+\Delta y,f(x,y+\Delta y))$ を考えると、 $\Delta x, \Delta y$ の1次までで

$$\begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &\simeq \left( \Delta x, 0, \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x \right) = \left( 1, 0, \frac{\partial f}{\partial x} \right) \Delta x \\ \overrightarrow{PR} &\simeq \left( 0, \Delta y, \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \right) = \left( 0, 1, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \Delta y \end{aligned}$$

であり、これらのベクトル積とその大きさは

$$\begin{aligned} \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} &= \left( - \frac{\partial f}{\partial x}, - \frac{\partial f}{\partial y}, 1 \right) \Delta x \Delta y \\ \left| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} \right| &= \left| \Delta x \Delta y \right| \sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 + 1 } \\ &= \left| \Delta x \Delta y \right| \sqrt{ x^2 + y^2 + 1 } \end{aligned}$$

である。 よって、

$$\begin{aligned} S = 4 \iint_D dx dy \sqrt{x^2+y^2+1} \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

$x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta$ によって2次元極座標 $(r, \theta)$ を導入すると、 $dxdy = r dr d \theta$ であり、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} S &= 4 \int_0^2 dr r \sqrt{r^2 + 1} \int_0^{\pi/2} d \theta \\ &= \frac{2 \pi}{3} \left[ \left( r^2 + 1 \right)^{3/2} \right]_0^2 \\ &= \frac{2 \left( 5 \sqrt{5} - 1 \right) \pi}{3} \end{aligned}$$

【問題 3】

(1)

$$\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= y - x^3 \tag{a} \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= x - \sin y \tag{b} \end{align}$$

を満たす関数 $f(x,y)$ を求める。 式 ($a$) より、

$$\begin{align} f(x,y) = xy - \frac{1}{4} x^4 + g(y) \tag{c} \end{align}$$

なる関数 $g(y)$ が存在することがわかる。 ($c$) を ($b$) に代入して整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{dg}{dy} &= - \sin y \\ \therefore \ \ g(y) &= \cos y + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( $C$ は任意定数 )} \\ \therefore \ \ f(x,y) &= xy - \frac{1}{4} x^4 + \cos y + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( $C$ は任意定数 )} \end{aligned}$$

を得る。 よって、求める一般解は

$$\begin{aligned} xy - \frac{1}{4} x^4 + \cos y + C = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( $C$ は任意定数 )} \end{aligned}$$

である。

(2)

式④が完全微分方程式であるための条件は、

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y} Q(y) X(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x} Q(y) Y(x,y) \\ \frac{dQ}{dy} X + Q \frac{\partial X}{\partial y} &= Q \frac{\partial Y}{\partial x} \\ \frac{1}{Q} \frac{dQ}{dy} &= \frac{1}{X} \left( \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right) \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} Q(y) &= \exp \left( \int dy \frac{1}{X(x,y)} \left( \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right) \right) \end{aligned}$$

を得る。ただし右辺の被積分関数が $y$ のみの関数となることが必要である。

(3)

(2) の $X(x,y),Y(x,y)$ は今の場合、

$$\begin{aligned} X(x,y) = xy^2 - y^3 , \ \ Y(x,y) = 1 - xy^2 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \frac{1}{X(x,y)} \left( \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right) &= \frac{-y^2 - (2xy-3y^2) }{xy^2 - y^3} \\ &= - \frac{2}{y} \end{aligned}$$

であり、積分因子として

$$\begin{aligned} Q(y) = \frac{1}{y^2} \end{aligned}$$

を考えればよい。ただし $y\ne0$ とする。 このとき与えられた微分方程式は、

$$\begin{aligned} (x-y)dx + \left( \frac{1}{y^2} - x \right) dy = 0 \end{aligned}$$

となり、 (1) と同じ方法を使って、一般解

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} x^2 - xy - \frac{1}{y} + C = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( $C$ は任意定数 )} \end{aligned}$$

を得る。なお、積分因子を掛ける前の方程式には特異解 $y=0$ もある。

【問題 4】

(1)

$$\begin{aligned} A^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ A^3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ A^n &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ (n = 4, 5, 6, \cdots) \end{aligned}$$

(2)

4次の単位行列を $E$ とすると、

$$\begin{aligned} B = bE+A \end{aligned}$$

であり、まず、

$$\begin{aligned} B^2 &= b^2 E + 2bA + A^2 \\ &= \begin{pmatrix} b^2 & 2b & 1 & 0 \\ 0 & b^2 & 2b & 1 \\ 0 & 0 & b^2 & 2b \\ 0 & 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

がわかる。 また、

$$\begin{aligned} B^3 &= b^3 E + 3b^2A + 3bA^2 + A^3 \\ &= \begin{pmatrix} b^3 & 3b^2 & 3b & 1 \\ 0 & b^3 & 3b^2 & 3b \\ 0 & 0 & b^3 & 3b^2 \\ 0 & 0 & 0 & b^3 \end{pmatrix} \\ B^4 &= b^4 E + 4b^3A + 6b^2A^2 + 4bA^3 + A^4 \\ &= b^4 E + 4b^3A + 6b^2A^2 + 4bA^3 \\ &= \begin{pmatrix} b^4 & 4b^3 & 6b^2 & 4b \\ 0 & b^4 & 4b^3 & 6b^2 \\ 0 & 0 & b^4 & 4b^3 \\ 0 & 0 & 0 & b^4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

から、 $n = 3, 4, 5, \cdots$ について

$$\begin{gathered} B^n=b^nE+nb^{n-1}A+\frac{n(n-1)}2b^{n-2}A^2 \\ {}+\frac{n(n-1)(n-2)}6b^{n-3}A^3 \\ =\begin{pmatrix} b^n&nb^{n-1}&\frac{n(n-1)}2b^{n-2}&\frac{n(n-1)(n-2)}6b^{n-3}\\ 0&b^n&nb^{n-1}&\frac{n(n-1)}2b^{n-2}\\ 0&0&b^n&nb^{n-1}\\0&0&0&b^n \end{pmatrix} \end{gathered}$$

がわかる。

(3)

$\det(\lambda I-C)=(\lambda+2)(\lambda-3)$ である。固有値 $-2,3$ に対する固有ベクトルとして、それぞれ $(2,1)^{\mathsf T},(3,1)^{\mathsf T}$ を取れる。したがって、

$$\begin{gathered} P=\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix},\\ P^{-1}=\begin{pmatrix}-1&3\\1&-2\end{pmatrix},\\ P^{-1}CP=\begin{pmatrix}-2&0\\0&3\end{pmatrix}. \end{gathered}$$

【問題 5】

平均は

$$\begin{aligned} \mu &= \int_{- \infty}^\infty x f(x) dx \\ &= 2 \int_0^1 \left( x - x^2 \right) dx \\ &= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$

であり、分散は

$$\begin{aligned} \sigma^2 &= \int_{- \infty}^\infty (x - \mu)^2 f(x) dx \\ &= \int_{- \infty}^\infty x^2 f(x) dx - \mu^2 \\ &= 2 \int_0^1 \left( x^2 - x^3 \right) dx - \mu^2 \\ &= 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 - \frac{1}{9} \\ &= \frac{1}{18} \end{aligned}$$

である。

【問題 6】

$$\begin{aligned} 1.96 \cdot \frac{75}{\sqrt{9}} = 49 \end{aligned}$$

なので、求める95%信頼区間の下端は $500-49=451 \ \mathrm{N/mm^2}$ であり、 上端は $500+49=549 \ \mathrm{N/mm^2}$ である。

Reference

• 大学公式問題