九州大学 工学府 応用化学専攻 機能物質化学系 2022年8月実施 物理化学2

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• Wien-Displacement-Law
• Einstein-Solid-Heat-Capacity

Author

Miyake

Description

题目描述

本文件原 Description 为空；现有解答未保存第 (3)—(5) 问的完整文字，其中 (3)、(4) 仅留下外部参考链接。由现有内容可确认题目围绕 Planck 黑体辐射定律

$$\rho(\lambda,T) =\frac{8\pi hc}{\lambda^5} \frac1{\exp\!\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)-1}$$

以及 Einstein 固体模型展开：

1. 在 $hc/(\lambda kT)\gg1$ 时求 $\rho(\lambda,T)$ 的短波近似。
2. 在 $hc/(\lambda kT)\ll1$ 时求 $\rho(\lambda,T)$ 的长波近似。
3. 第 (3) 问原解答仅引用了 Planck 定律资料，具体问法未保存在仓库中。
4. 第 (4) 问原解答仅引用了 Wien 位移定律资料，具体问法未保存在仓库中。
5. 利用 Wien 型关系
   $$T=\frac{hc}{5\lambda_{\max}k}$$
   计算给定峰值波长所对应的温度；现有解答结果为 $5.88\times10^3\,\mathrm K$，但原题给出的 $\lambda_{\max}$ 数值已缺失。
6. 对 Einstein 固体的摩尔内能
   $$U_{\mathrm m}=\frac{3N_Ah\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1},$$
   求定容摩尔热容 $C_{V,\mathrm m}=(\partial U_{\mathrm m}/\partial T)_V$，并分别求 $kT\gg h\nu$ 与 $kT\ll h\nu$ 下的近似式。

考点

• Planck 黑体辐射定律：在指数变量很大或很小时作渐近展开，分别得到短波 Wien 近似和长波 Rayleigh–Jeans 近似。
• Wien 位移定律：联系谱峰波长与绝对温度，并据给定数据估算温度。
• Einstein 固体热容：对量子振子内能关于温度求导，分析高温经典极限和低温指数抑制。

Kai

(1)

$hc / (\lambda kT) \gg 1$ のとき

$$\begin{aligned} e^\frac{hc}{\lambda kT} \gg 1 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \rho (\lambda, T) &\simeq \frac{8 \pi hc}{\lambda^5} e^{- \frac{hc}{\lambda kT}} \end{aligned}$$

と表せる。

(2)

$hc / (\lambda kT) \ll 1$ のとき

$$\begin{aligned} e^\frac{hc}{\lambda kT} \simeq 1 + \frac{hc}{\lambda kT} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \rho (\lambda, T) &\simeq \frac{8 \pi hc}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\frac{hc}{\lambda kT}} \\ &= \frac{8 \pi kT}{\lambda^4} \end{aligned}$$

と表せる。

(3)

こちら

(4)

Wien の変位則

(5)

$$\begin{aligned} T &= \frac{hc}{5 \lambda_\mathrm{max} k} \\ &= 5.88 \times 10^3 \ \mathrm{K} \end{aligned}$$

(6)

まず、

$$\begin{aligned} C_{V, \mathrm{m}} &= \left( \frac{\partial U_\mathrm{m}}{\partial T} \right)_V \\ &= 3N_A h \nu \frac{ - e^\frac{h \nu}{kT} \cdot \left( - \frac{h \nu}{kT^2} \right)} {\left( e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \right)^2} \\ &= \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} \frac{e^\frac{h \nu}{kT}}{\left( e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \right)^2} \end{aligned}$$

である。

(i) $kT \gg h \nu$ のとき、

$$\begin{aligned} e^\frac{h \nu}{kT} \simeq 1 + \frac{h \nu}{kT} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} C_{V, \mathrm{m}} &\simeq \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} \frac{e^\frac{h \nu}{kT}}{\left( \frac{h \nu}{kT} \right)^2} \\ &= 3N_Ak e^\frac{h \nu}{kT} \end{aligned}$$

と近似できる。

(ii) $kT \ll h \nu$ のとき、

$$\begin{aligned} e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \simeq e^\frac{h \nu}{kT} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} C_{V, \mathrm{m}} &\simeq \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} e^{- \frac{h \nu}{kT}} \end{aligned}$$

と近似できる。