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九州大学 工学府 応用化学専攻 機能物質化学系 2022年8月実施 物理化学2

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Author​

Miyake

Description​

2．プランクの熱放射式に関する以下の問に答えよ。答えは解答欄に記入すること。（40点）

量子論誕生前の19世紀に「黒体放射の問題」に多くの研究者が取り組んでいた。「黒体放射の問題」とは一口で言えば、「ある温度に熱せられた物体はどういう色の光を出すか」ということである。物体を熱したときに出る光は、温度の低いときには赤い色をしているが、温度が上がるにつれて次第に白くなる。プランクは、観測される全波長領域において満足するエネルギー分布関数 ρ(λ,T)\rho(\lambda,T) を見出した。プランクの分布関数は次式で表される。

ρ(λ,T)=8πhcλ5(ehc/(λkT)−1).\rho(\lambda,T)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5(e^{hc/(\lambda kT)}-1)}.

ここで、λ\lambda は波長、TT は温度、cc は光の速度、kk はボルツマン定数、hh はプランク定数である。

(1) 波長が極めて短い領域で、ρ(λ,T)\rho(\lambda,T) はどのように表されるか答えよ。

(2) 波長が十分に長い領域で、ρ(λ,T)\rho(\lambda,T) はどのように表されるか答えよ。

(3) 温度依存性がわかるように、ρ(λ,T)\rho(\lambda,T) を描け。

設問 (3) の解答欄の座標軸

(4) ρ(λ,T)\rho(\lambda,T) は、hc/(λkT)=5hc/(\lambda kT)=5 のときに最大値をとることがわかっている。この式から、温度と最大放射波長（λmax⁡\lambda_{\max}）が反比例することがわかる。この関係式は何と呼ばれるか答えよ。

(5) 太陽の λmax⁡\lambda_{\max} は 490 nm490\,\mathrm{nm} である。(4) の関係式から太陽の温度 [K][\mathrm K] を求めよ。ただし、h=6.63×10−34 J sh=6.63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}、k=1.38×10−23 J K−1k=1.38\times10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}、c=3.00×108 m s−1c=3.00\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}} とする。

(6) この分布関数から、アインシュタインは固体のモル振動エネルギー UmU_{\mathrm m} を次式で表した。

Um=3NAhνehν/(kT)−1.U_{\mathrm m}=\frac{3N_{\mathrm A}h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1}.

モル定容比熱 CV,m=(∂Um/∂T)VC_{V,\mathrm m}=(\partial U_{\mathrm m}/\partial T)_V を導出せよ。さらに、温度が高いとき（kT≫hνkT\gg h\nu）と低いとき（kT≪hνkT\ll h\nu）の近似式を求めよ。ここで、ν\nu は振動数、NAN_{\mathrm A} はアボガドロ定数である。

题目描述​

2．回答以下有关普朗克热辐射公式的问题，将答案写在答题栏内。（40分）

在量子论诞生前的19世纪，许多研究者致力于“黑体辐射问题”。简单来说，这个问题就是“加热至某一温度的物体会发出什么颜色的光”。物体受热后发出的光在低温时呈红色，随温度升高逐渐变白。普朗克找到了能够描述全部观测波长范围的能量分布函数 ρ(λ,T)\rho(\lambda,T)，其表达式为

ρ(λ,T)=8πhcλ5(ehc/(λkT)−1).\rho(\lambda,T)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5(e^{hc/(\lambda kT)}-1)}.

其中 λ\lambda 为波长、TT 为温度、cc 为光速、kk 为玻尔兹曼常数、hh 为普朗克常数。

(1) 在波长极短的区域，ρ(λ,T)\rho(\lambda,T) 可以怎样表示？

(2) 在波长充分长的区域，ρ(λ,T)\rho(\lambda,T) 可以怎样表示？

(3) 画出 ρ(λ,T)\rho(\lambda,T)，使其温度依赖关系清楚可见。答题栏的坐标轴见上图。

(4) 题目给定 ρ(λ,T)\rho(\lambda,T) 在 hc/(λkT)=5hc/(\lambda kT)=5 时取最大值。由此可知温度与最大辐射波长 λmax⁡\lambda_{\max} 成反比。这一关系称为什么？

(5) 太阳的 λmax⁡=490 nm\lambda_{\max}=490\,\mathrm{nm}，用 (4) 的关系式求太阳的温度，单位为 K\mathrm K。取 h=6.63×10−34 J sh=6.63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}、k=1.38×10−23 J K−1k=1.38\times10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}、c=3.00×108 m s−1c=3.00\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}。

(6) 爱因斯坦由这一分布函数将固体的摩尔振动能 UmU_{\mathrm m} 表示为

Um=3NAhνehν/(kT)−1.U_{\mathrm m}=\frac{3N_{\mathrm A}h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1}.

推导定容摩尔热容 CV,m=(∂Um/∂T)VC_{V,\mathrm m}=(\partial U_{\mathrm m}/\partial T)_V，并求高温（kT≫hνkT\gg h\nu）和低温（kT≪hνkT\ll h\nu）下的近似式。ν\nu 为振动频率，NAN_{\mathrm A} 为阿伏伽德罗常数。

Kai​

(1)​

hc/(λkT)≫1hc / (\lambda kT) \gg 1 のとき

ehcλkT≫1 \begin{aligned} e^\frac{hc}{\lambda kT} \gg 1 \end{aligned}

であるから、

ρ(λ,T)≃8πhcλ5e−hcλkT \begin{aligned} \rho (\lambda, T) &\simeq \frac{8 \pi hc}{\lambda^5} e^{- \frac{hc}{\lambda kT}} \end{aligned}

と表せる。

(2)​

hc/(λkT)≪1hc / (\lambda kT) \ll 1 のとき

ehcλkT≃1+hcλkT \begin{aligned} e^\frac{hc}{\lambda kT} \simeq 1 + \frac{hc}{\lambda kT} \end{aligned}

であるから、

ρ(λ,T)≃8πhcλ5⋅1hcλkT=8πkTλ4 \begin{aligned} \rho (\lambda, T) &\simeq \frac{8 \pi hc}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\frac{hc}{\lambda kT}} \\ &= \frac{8 \pi kT}{\lambda^4} \end{aligned}

と表せる。

(3)​

λ→0+\lambda\to0+ と λ→∞\lambda\to\infty で ρ→0\rho\to0 となり、その間に最大点を持つ。温度を高くすると、任意の固定波長で ρ\rho が増加し、ピークは短波長側へ移動する。

プランク分布の温度依存性

(4)​

Wien の変位則であり、λmax⁡T\lambda_{\max}T が一定となる。設問の関係を用いると

λmax⁡T≃hc5k.\lambda_{\max}T\simeq\frac{hc}{5k}.

これは短波長近似の分布を最大化した式である。プランク分布そのものでは u=hc/(λmax⁡kT)u=hc/(\lambda_{\max}kT) が

u=5(1−e−u),u>0u=5(1-e^{-u}),\qquad u>0

を満たし、u≃4.965114u\simeq4.965114 となる。

(5)​

T=hc5λmaxk=5.88×103 K \begin{aligned} T &= \frac{hc}{5 \lambda_\mathrm{max} k} \\ &= 5.88 \times 10^3 \ \mathrm{K} \end{aligned}

(6)​

まず、

CV,m=(∂Um∂T)V=3NAhν−ehνkT⋅(−hνkT2)(ehνkT−1)2=3NAh2ν2kT2ehνkT(ehνkT−1)2 \begin{aligned} C_{V, \mathrm{m}} &= \left( \frac{\partial U_\mathrm{m}}{\partial T} \right)_V \\ &= 3N_A h \nu \frac{ - e^\frac{h \nu}{kT} \cdot \left( - \frac{h \nu}{kT^2} \right)} {\left( e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \right)^2} \\ &= \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} \frac{e^\frac{h \nu}{kT}}{\left( e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \right)^2} \end{aligned}

である。

(i) kT≫hνkT\gg h\nu のとき、ξ=hν/(kT)→0\xi=h\nu/(kT)\to0 とおくと

CV,m=3NAkξ2eξ(eξ−1)2=3NAk(1−ξ212+O(ξ4))≃3NAk=3R.\begin{gathered} C_{V,\mathrm m}=3N_Ak\frac{\xi^2e^\xi}{(e^\xi-1)^2} \\ =3N_Ak\left(1-\frac{\xi^2}{12}+O(\xi^4)\right) \\ \simeq3N_Ak=3R. \end{gathered}

(ii) kT≪hνkT \ll h \nu のとき、

ehνkT−1≃ehνkT \begin{aligned} e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \simeq e^\frac{h \nu}{kT} \end{aligned}

であるから、

CV,m≃3NAh2ν2kT2e−hνkT \begin{aligned} C_{V, \mathrm{m}} &\simeq \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} e^{- \frac{h \nu}{kT}} \end{aligned}

と近似できる。

Reference​

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