九州大学 経済学府 経済工学専攻 2019年8月実施 経済数学

标签：

• Kyushu-University
• Linear-Independence
• Gram-Matrix
• Matrix-Determinant
• Moment-Generating-Function
• Binomial-to-Poisson-Convergence-via-Moment-Generating-Function

Author

Miyake

Description

题目描述

本文件原 Description 为空，现有解答又缺少第 1 题 (2) 和第 2 题 (1)，且没有原题图片或链接，因此无法无虚构地恢复这两小问。其余可确认题意如下。

第 1 题 (1)：给定三个依赖实参数 $t$ 的三维向量 $\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\boldsymbol x_3$，以它们为列组成矩阵 $X$（原向量各分量未保存在文件中，解答仅给出 $\det X=-9t$）。

1. 求三向量线性无关时 $t$ 的条件。
2. 对 $\boldsymbol c=(a,b,c)^\top$，利用
   $$X^\top X\boldsymbol c =\begin{pmatrix} \boldsymbol x_1^\top(X\boldsymbol c)\\ \boldsymbol x_2^\top(X\boldsymbol c)\\ \boldsymbol x_3^\top(X\boldsymbol c) \end{pmatrix}$$
   说明 $X^\top X\boldsymbol c=\boldsymbol0$ 与 $X\boldsymbol c=\boldsymbol0$ 的关系。
3. 求 Gram 矩阵 $X^\top X$ 可逆时 $t$ 的条件。

第 2 题 (2)：

1. 对 $X\sim\operatorname{Bin}(n,p)$，求矩母函数 $E(e^{tX})$。
2. 对 $Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，求矩母函数 $E(e^{tY})$。
3. 令 $Z_n\sim\operatorname{Bin}(n,\lambda/n)$，求 $E(e^{tZ_n})$ 的 $n\to\infty$ 极限，并由此说明二项分布向参数为 $\lambda$ 的 Poisson 分布收敛。

Kai

問 1

(1)

(a)

$\det X = -9t$ なので、 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3$ が1次独立になるのは、 $t \ne 0$ のときである。

(b)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とすると、

$$\begin{aligned} X \boldsymbol{c} = a \boldsymbol{x}_1 + b \boldsymbol{x}_2 + c \boldsymbol{x}_3 \end{aligned}$$

なので、 $X \boldsymbol{c}$ は $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3$ の1次結合で表される。

また、

$$\begin{aligned} X^T X \boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1^T (X \boldsymbol{c}) \\ \boldsymbol{x}_2^T (X \boldsymbol{c}) \\ \boldsymbol{x}_3^T (X \boldsymbol{c}) \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と表されるので、 $X^T X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3$ は、 $X \boldsymbol{c}$ が $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3$ のいずれとの内積も $0$ であることを意味する。

したがって、 $X^T X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3$ ならば、 $X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3$ である。

((c))

$$\begin{aligned} \det \left( X^T X \right) &= \left( \det X^T \right) \left( \det X \right) \\ &= \left( \det X \right)^2 \\ &= 81t^2 \end{aligned}$$

なので、 $X^T X$ が正則なのは $t \ne 0$ のときである。

(2)

問 2

(1)

(2)

(a)

$$\begin{aligned} E \left[ \exp (tX) \right] &= \sum_{x=0}^n \exp(tx) \cdot {}_n C_x p^x (1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n \ {}_n C_x \left( p e^t \right)^x (1-p)^{n-x} \\ &= \left( 1 - p + p e^t \right)^n \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} E \left[ \exp (tY) \right] &= \sum_{y=0}^\infty \exp(ty) \cdot \exp(- \lambda) \frac{\lambda^y}{y!} \\ &= \exp(- \lambda) \sum_{y=0}^\infty \frac{\left( \lambda e^t \right)^y}{y!} \\ &= \exp(- \lambda) \cdot \exp \left( \lambda e^t \right) \\ &= \exp \left( \lambda \left( e^t - 1 \right) \right) \end{aligned}$$

((c))

(a) より、

$$\begin{aligned} E \left[ \exp \left( tZ_n \right) \right] &= \left( 1 + \frac{\lambda \left( e^t - 1 \right)}{n} \right)^n \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} E \left[ \exp \left( tZ_n \right) \right] &= \exp \left( \lambda \left( e^t - 1 \right) \right) \end{aligned}$$

である。