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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2023年8月実施 線形代数

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Author​

Casablanca, Miyake

Description​

m×nm \times n 実行列 AA と mm 次元実ベクトル b\boldsymbol{b} に対して, S={x∈R∣Ax=b},f(x)=AxS = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}| A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\},f(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x} を定義する。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、以下の事実は証明なしに用してよい。

事実。 R\mathbb{R} 上のベクトル空間 (線形空間) VV の部分集合 WW が　の部分空間である必要十分条件は以下の条件が満たされることである。

  • C1: 0∈W0 \in W.
  • C2: u,v∈Wu,v \in W ならば u+v∈W\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} \in W.
  • C3: u∈Wu \in W, c∈Rc \in \mathbb{R} ならば cu∈Wc\boldsymbol{u} \in W.

(1) A=[20200824240266]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 2 & 6 & 6 \end{bmatrix} であるとき, ff の核 Ker(f)\text{Ker}(f) の次元と基底を一組求めよ。

(2) 一般に Ker(f)\text{Ker}(f) が Rn\mathbb{R}^n の部分空間であることを示せ。

(3) SS が Rn\mathbb{R}^n の部分空間であるとき, b=0\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} であることを示せ。

(4) SS が Rn\mathbb{R}^n の部分空間, AA が正方行列であるとする。このとき, AA が正則行列であるならば, S={0}S = \{\boldsymbol{0}\} であることを示せ。

题目描述​

给定 m×nm\times n 实矩阵 AA 和 b∈Rm\boldsymbol b\in\mathbb R^m，定义

S={x∈Rn∣Ax=b},f(x)=Ax.S=\{\boldsymbol x\in\mathbb R^n\mid A\boldsymbol x=\boldsymbol b\}, \qquad f(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x.

可直接使用子空间判别准则：W⊆VW\subseteq V 是实向量空间 VV 的子空间，当且仅当 0∈W0\in W，且 WW 对向量加法和实数倍封闭。

  1. 当
    A=[20200824240266]A=\begin{bmatrix} 2&0&2&0\\ 0&8&24&24\\ 0&2&6&6 \end{bmatrix}
    时，求 ker⁡f\ker f 的维数及一组基。
  2. 证明一般情况下 ker⁡f\ker f 是 Rn\mathbb R^n 的子空间。
  3. 证明若 SS 是 Rn\mathbb R^n 的子空间，则 b=0\boldsymbol b=\boldsymbol0。
  4. 再设 AA 为方阵且 SS 是 Rn\mathbb R^n 的子空间，证明若 AA 可逆，则 S={0}S=\{\boldsymbol0\}。

考点​

  • 线性映射的核：解齐次线性方程组，求核空间的维数与基。
  • 子空间判别：逐项验证核对零向量、加法与数乘封闭，并将同一判据用于非齐次解集。
  • 线性方程组与可逆矩阵：利用子空间必须含零向量推出 b=0\boldsymbol b=0，再由可逆性说明齐次方程仅有零解。

Kai - By Casablanca​

(1)​

Consider Ax⃗=0A\vec{x} = 0

[20200824240266]x⃗=0x⃗=[−u−3u−3vuv]=u[−1−310]+v[0−301]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 2 & 6 & 6 \\ \end{bmatrix} \vec{x} = 0 \qquad \vec{x} = \begin{bmatrix} -u \\ -3u - 3v \\ u \\ v \\ \end{bmatrix} = u \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + v \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

thus dimention of the kernel is 22, aa basis is [−1−310]\begin{bmatrix}-1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\\end{bmatrix}, [0−301]\begin{bmatrix}0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\\end{bmatrix}

(2)​

For convenience, let x1⃗=[−1−310]⊤,x2⃗=[0−301]⊤\vec{x_1} = \begin{bmatrix}-1 & -3 & 1 & 0\end{bmatrix}^{\top} ,\vec{x_2} = \begin{bmatrix}0 & -3 & 0 & 1\end{bmatrix}^{\top}

  • C1: A0⃗=0A\vec{0} = 0 , thus 0∈Ker(f)0 \in \text{Ker}(f)
  • C2: if Am⃗=0,An⃗=0A\vec{m} = 0, A\vec{n} = 0, then A(m⃗+n⃗)=Am⃗+An⃗=0A (\vec{m} + \vec{n}) = A\vec{m} + A\vec{n} = 0, that is, m⃗,n⃗∈Ker(f)⇒m⃗+n⃗∈Ker(f)\vec{m},\vec{n} \in \text{Ker}(f) \Rightarrow \vec{m} + \vec{n} \in \text{Ker}(f)
  • C3: if Am⃗=0,A(cm⃗)=c,Am⃗=0A\vec{m} = 0, A(c\vec{m}) = c, A\vec{m} = 0, that is, m⃗∈Ker(f)⇒cm⃗∈Ker(f)\vec{m} \in \text{Ker}(f) \Rightarrow c \vec{m} \in \text{Ker}(f)

C1, C2, C3 holds all, hence Ker(f)\text{Ker}(f) is a subspace.

(3)​

If b⃗=0⃗\vec{b} = \vec{0},

  • for C1, A0⃗=0⃗,0⃗∈SA\vec{0} = \vec{0},\vec{0} \in S
  • for C2, Am⃗=0,An⃗=0⇒A(m⃗+n⃗)=0⇒m⃗+n⃗∈SA\vec{m} = 0, A\vec{n} = 0 \Rightarrow A(\vec{m} + \vec{n}) = 0 \Rightarrow \vec{m} + \vec{n} \in S
  • for C3, Am⃗=0⇒A(cm⃗)=0⇒cm⃗∈SA\vec{m} = 0 \Rightarrow A(c\vec{m}) = 0 \Rightarrow c\vec{m} \in S

If b⃗≠0⃗\vec{b} \neq \vec{0}, then A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0} can't hold. Thus b⃗=0⃗\vec{b} = \vec{0}.

(4)​

Suppose that AA is invertible.

(i) It's trivial that 0⃗∈S\vec{0} \in S.

(ii) Assume that v⃗≠0,v⃗∈S\vec{v} \neq 0,\vec{v} \in S, then Av⃗=0A\vec{v} = 0. We have

A−1(Av⃗)=A−10=0⇒v⃗=0A^{-1} (A\vec{v}) = A^{-1}0 = 0 \Rightarrow \vec{v} = 0

a contradiction.

Hence S={0⃗}S = \{\vec{0}\}.

Kai - By Miyake​

(1)​

p,q,r,s∈Rp,q,r,s \in \mathbb{R} について

A(pqrs)=(000) \begin{aligned} A \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

が成り立つとすると

p+r=0,  q+3r+3s=0 \begin{aligned} p+r=0, \ \ q+3r+3s=0 \end{aligned}

となるので、

Ker(f)={(−r−3r−3srs)|r,s∈R} \begin{aligned} \mathrm{Ker}(f) = \left\{ \begin{pmatrix} -r \\ -3r-3s \\ r \\ s \end{pmatrix} \middle| r, s \in \mathbb{R} \right\} \end{aligned}

がわかる。よって、 Ker(f)\mathrm{Ker}(f) の次元は 22 であり、例えば

(−1−310),  (0−301) \begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

は基底となる。

(2)​

Ker(f)\mathrm{Ker}(f) が与えられた条件 C1, C2, C3 を満たすことを確認すればよい。

(C1 の確認)

A0=0 \begin{aligned} A \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} \end{aligned}

なので 0∈Ker(f)\boldsymbol{0} \in \mathrm{Ker}(f) がわかる。

(C2 の確認)

u,v∈Ker(f)\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathrm{Ker}(f) とすると

Au=Av=0 \begin{aligned} A \boldsymbol{u} = A \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} \end{aligned}

であり、このとき

f(u+v)=A(u+v)=Au+Av=0+0=0 \begin{aligned} f( \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} ) &= A( \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} ) \\ &= A \boldsymbol{u} + A \boldsymbol{v} \\ &= \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0} \\ &= \boldsymbol{0} \end{aligned}

となるので、u+v∈Ker(f)\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} \in \mathrm{Ker}(f) がわかる。

(C3 の確認)

u∈Ker(f)\boldsymbol{u} \in \mathrm{Ker}(f) とすると

Au=0 \begin{aligned} A \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \end{aligned}

であり、このとき、 c∈Rc \in \mathrm{R} について

f(cu)=Acu=cAu=c0=0 \begin{aligned} f( c \boldsymbol{u} ) &= A c \boldsymbol{u} \\ &= c A \boldsymbol{u} \\ &= c \boldsymbol{0} \\ &= \boldsymbol{0} \end{aligned}

となるので、

cu∈Ker(f)c \boldsymbol{u} \in \mathrm{Ker}(f) がわかる。

(3)​

SS が Rn\mathbb{R}^n の部分空間であるとき、0∈S\boldsymbol{0} \in S であるから

A0=b \begin{aligned} A \boldsymbol{0} = \boldsymbol{b} \end{aligned}

が成り立つ。

これの左辺は 0\boldsymbol{0} であるから右辺も 0\boldsymbol{0} もであり、

b=0 \begin{aligned} \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} \end{aligned}

がわかる。

(4)​

SS が Rn\mathbb{R}^n の部分空間であるとき、C1 から 0∈S\boldsymbol{0} \in S であり、(3) から b=0\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} である。

よって、 x∈S\boldsymbol{x} \in S とすると、

Ax=0 \begin{aligned} A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \end{aligned}

であるが、 AA が正則行列のとき逆行列 A−1A^{-1} が存在し、

A−1Ax=A−10∴  x=0 \begin{aligned} A^{-1} A \boldsymbol{x} &= A^{-1} \boldsymbol{0} \\ \therefore \ \ \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{0} \end{aligned}

が得られる。

x∈S\boldsymbol{x} \in S から x=0\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} が得られたので

S={0} \begin{aligned} S = \left\{ \boldsymbol{0} \right\} \end{aligned}

である。

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