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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2023年8月実施 線形代数

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

m×nm \times n 実行列 AA と mm 次元実ベクトル b\boldsymbol{b} に対して、

S={x∈Rn∣Ax=b},f(x)=AxS=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb R^n\mid A\boldsymbol{x}=\boldsymbol b\}, \qquad f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}

とする。実ベクトル空間 VV の部分集合 WW が部分空間となるための必要十分条件は、以下の C1～C3 である。この事実は証明なしに用いてよい。

  • C1. 0∈W\boldsymbol0\in W。
  • C2. u,v∈W\boldsymbol u,\boldsymbol v\in W ならば u+v∈W\boldsymbol u+\boldsymbol v\in W。
  • C3. u∈W, c∈R\boldsymbol u\in W,\ c\in\mathbb R ならば cu∈Wc\boldsymbol u\in W。

(1) 次の AA に対し、ker⁡f\ker f の次元と基底を1組求めよ。

A=(20200824240266).A=\begin{pmatrix} 2&0&2&0\\ 0&8&24&24\\ 0&2&6&6 \end{pmatrix}.

(2) 一般に ker⁡f\ker f が Rn\mathbb R^n の部分空間であることを示せ。

(3) SS が Rn\mathbb R^n の部分空間であるならば b=0\boldsymbol b=\boldsymbol0 であることを示せ。

(4) SS が Rn\mathbb R^n の部分空間、AA が正方行列であるとする。AA が正則ならば S={0}S=\{\boldsymbol0\} であることを示せ。

题目描述​

给定 m×nm\times n 实矩阵 AA 和 b∈Rm\boldsymbol b\in\mathbb R^m，定义

S={x∈Rn∣Ax=b},f(x)=Ax.S=\{\boldsymbol x\in\mathbb R^n\mid A\boldsymbol x=\boldsymbol b\}, \qquad f(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x.
  1. 对上述给定的 AA，求 ker⁡f\ker f 的维数及一组基。
  2. 证明 ker⁡f\ker f 是 Rn\mathbb R^n 的子空间。
  3. 证明若 SS 是 Rn\mathbb R^n 的子空间，则 b=0\boldsymbol b=\boldsymbol0。
  4. 再设 AA 为方阵且可逆，证明 S={0}S=\{\boldsymbol0\}。

Kai​

(1)​

x=(p,q,r,s)T\boldsymbol{x}=(p,q,r,s)^{\mathsf T} とくと、Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol0 より

p=−r,q=−3r−3s.p=-r,\qquad q=-3r-3s.

したがって

ker⁡f={r(−1−310)+s(0−301)|r,s∈R}.\ker f =\left\{ r\begin{pmatrix}-1\\-3\\1\\0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}0\\-3\\0\\1\end{pmatrix} \middle|r,s\in\mathbb R \right\}.

よって dim⁡ker⁡f=2\dim\ker f=2 であり、例えば

(−1−310),(0−301)\begin{pmatrix}-1\\-3\\1\\0\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}0\\-3\\0\\1\end{pmatrix}

が基底である。

(2)​

A0=0A\boldsymbol0=\boldsymbol0 より 0∈ker⁡f\boldsymbol0\in\ker f。また u,v∈ker⁡f\boldsymbol u,\boldsymbol v\in\ker f と c∈Rc\in\mathbb R に対し、

A(u+v)=Au+Av=0,A(cu)=cAu=0.A(\boldsymbol u+\boldsymbol v)=A\boldsymbol u+A\boldsymbol v=\boldsymbol0, \qquad A(c\boldsymbol u)=cA\boldsymbol u=\boldsymbol0.

よって C1～C3 が成り立ち、ker⁡f\ker f は Rn\mathbb R^n の部分空間である。

(3)​

SS が部分空間ならば 0∈S\boldsymbol0\in S であるから、

b=A0=0.\boldsymbol b=A\boldsymbol0=\boldsymbol0.

(4)​

(3) より b=0\boldsymbol b=\boldsymbol0。x∈S\boldsymbol x\in S ならば Ax=0A\boldsymbol x=\boldsymbol0 である。AA は正則なので

x=A−10=0.\boldsymbol x=A^{-1}\boldsymbol0=\boldsymbol0.

また 0∈S\boldsymbol0\in S であるから、S={0}S=\{\boldsymbol0\} である。

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