九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2023年8月実施 解析学・微積分

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1) 積分

$$I=\int_0^\infty x^5\exp(-x^4)\,dx$$

を計算せよ。ただし、$\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-x^2)\,dx=\sqrt\pi$ を証明なしに用いてよい。

(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx}+y=x\sinh x.$$

(3) 複素関数 $f(z)=1/(z^4+1)$ を考える。

(a) $f(z)$ の極をすべて求めよ。

(b) 下図の半円閉路 $C$ に沿う複素積分 $\oint_Cf(z)\,dz$ を求めよ。ただし $R>1$ とする。

题目描述

1. 计算 $I=\int_0^\infty x^5e^{-x^4}\,dx$，可直接使用高斯积分。
2. 求 $y'+y=x\sinh x$ 的通解。
3. 对 $f(z)=1/(z^4+1)$，求全部极点，并计算图示半圆闭路上的 $\oint_Cf(z)\,dz$，其中 $R>1$。

Kai

(1)

$u=x^2$ とくと、

$$I=\frac12\int_0^\infty u^2e^{-u^2}\,du.$$

部分積分により

$$I =\frac14\int_0^\infty e^{-u^2}\,du =\boxed{\frac{\sqrt\pi}{8}}.$$

(2)

積分因子 $e^x$ をかけると

$$(e^xy)'=\frac{x}{2}(e^{2x}-1).$$

したがって

$$e^xy=\frac14xe^{2x}-\frac18e^{2x}-\frac14x^2+C,$$

よって

$$\boxed{y=\frac14xe^x-\frac18e^x-\frac14x^2e^{-x}+Ce^{-x}}.$$

(3)

(a)

$z^4=-1=e^{i(\pi+2k\pi)}$ より、極は

$$\boxed{z=e^{i(\pi/4+k\pi/2)}\quad(k=0,1,2,3)}.$$

(b)

$C$ の内部の極は

$$z_0=e^{i\pi/4},\qquad z_1=e^{3i\pi/4}$$

である。各極の留数は $1/(4z_j^3)$ なので、

$$\operatorname{Res}(f;z_0)+\operatorname{Res}(f;z_1) =-\frac{i}{2\sqrt2}.$$

よって留数定理より

$$\boxed{\oint_Cf(z)\,dz =2\pi i\left(-\frac{i}{2\sqrt2}\right) =\frac{\pi}{\sqrt2}}.$$