九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2022年8月実施 ベクトル解析

Author

Yu, itsuitsuki

Description

直交座標系において, 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ とする。ベクトル場 を とする。次の各問に答えよ。

(1) を で定義される円とする。次に示す および に沿った線積分 および を求めよ。

(a) 上を点 から点 まで反時計回り向かう曲線

(b) 上を点 から点 まで時計回り向かう曲線　

(2) を半球面 と平面 で囲まれた領域の境界とする。面積分 を求めよ。外向き法線ベクトルを用いよ。

Kai

(1)

(a)

(b)

(2)

は、半球面 と、円盤 に分け、境界 は で定義される円とする。

Stokes定理を用い、外向きなので反時計回りに境界をパラメータ化表示：

微分すると、

つまり

ゆえに

に関する面積分を求めるために、 の回転を求める。