九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2022年8月実施 ベクトル解析

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• Kyushu-University
• Line-Integral
• Gradient-Divergence-and-Curl
• Surface-Integral
• Stokes-Theorem

Author

Yu, itsuitsuki

Description

直交座標系において, $x,y,z$ 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{i,j,k}$ とする。ベクトル場 $\mathbf{F}$ を $\mathbf{F}=y\mathbf{i} - x\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ とする。次の各問に答えよ。

(1) $C$ を $x^2 + y^2=4,z=0$ で定義される円とする。次に示す $C_1$ および $C_2$ に沿った線積分 $\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ および $\int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ を求めよ。

$\quad$ (a) $C_1:C$ 上を点 $A(1,\sqrt{3},0)$ から点 $B(-\sqrt{3},1,0)$ まで反時計回り向かう曲線

$\quad$ (b) $C_2:C$ 上を点 $A(1,\sqrt{3},0)$ から点 $B(-\sqrt{3},1,0)$ まで時計回り向かう曲線　

(2) $S$ を半球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4 (0 \le z)$ と平面 $z = 0$ で囲まれた領域の境界とする。面積分 $\int_{S}\nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ を求めよ。外向き法線ベクトルを用いよ。

Kai

(1)

(a)

$$\begin{aligned} x(t) &= 2\cos t\\ y(t) &= 2\sin t\\ \mathbf{r} = 2\cos t \mathbf{i} &+ 2\sin t \mathbf{j} \quad (\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{5\pi}{6}) \\ d\mathbf{r} = \langle -2&\sin t,2\cos t,0 \rangle dt\\ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \langle 2\sin t,-2\cos t,z \rangle \cdot \langle -2\sin t,2&\cos t,0\rangle dt = -4(\sin ^2t + \cos^2t)dt = -4dt\\ \int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = &-4\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}}dt = -2\pi \end{aligned}$$

(b)

$$\int_{C_2}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 6\pi$$

(2)

$S$ は、半球面 $S_1:x^2+y^2+z^2=4,z\ge 0$ と、円盤 $S_2:x^2+y^2\le 4, z=0$ に分け、境界$\partial S_1$ は $x^2 + y^2 = 4,z = 0$ で定義される円とする。

Stokes定理を用い、外向きなので反時計回りに境界をパラメータ化表示：

$$\mathbf{r} (t) = (2\cos t, 2\sin t, 0), \, t\in[0,2\pi]$$

微分すると、

$${\mathrm{d} r\over \mathrm{d} t} = (-2\sin t, 2\cos t, 0),$$

つまり

$$\mathrm{d} r = {\mathrm{d} r\over \mathrm{d} t}\mathrm{d} t = (-2\sin t, 2\cos t, 0)\mathrm{d} t.$$

ゆえに

$$\begin{align*} \int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} & = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\ & = \int_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathrm{d} \mathbf{r}(t) \\ & = \int_0^{2\pi} (2\sin t, -2\cos t, 0)\cdot (-2\sin t, 2\cos t, 0)\mathrm{d} t \\ & = -4\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d} t \\ & = -8\pi \end{align*}$$

$S_2$ に関する面積分を求めるために、$\mathbf{F}$ の回転を求める。

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y & -x & z \end{vmatrix} = \langle 0,0,-2 \rangle$$

$$\int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}dS$$

$$=\int_{S_2}\langle 0,0,-2\rangle \cdot \langle 0,0,-1\rangle dxdy$$

$$=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 2rdr = 8\pi$$

$$\int_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} + \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} = 0$$