九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2022年8月実施 線形代数

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Author

Yu

Description

$n \times n$ 実対称行列 $A = [a_{ij}]_{n×n} \in \mathbb{R}^{n×n}$ に対して，$A$ の各要素 $a_{ij}$ が $a_{ij} \in \{0, 1\} (1 \le i, j \le n)$ かつ $a_{ii} = 0 (1 \le i \le n)$ を満たすとする．$A$ に対して，$D = [\delta_{ij}(\sum_{k = 1}^n a_{ik})]_{n \times n}$ と定義する． ただし $\delta_{ij}$ は，$1 \le i, j \le n$ に対して，$i = j$ のとき $\delta_{ij} = 1$，そうでないとき $\delta_{ij} = 0$ によって定義される．さらに，$L = D − A$ と定義する．以下の各問いに答えよ．

(1) 以下の $A$ に対して，$L = D − A$ を求めよ．

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$$

(2) (1) で求めた $L$ の固有値を全て求めよ．

(3) (2) で求めた $L$ の各固有値に対する固有空間を求めよ．

(4) 一般に $L$ は固有値 $0$ を持つことを示せ．

Kai

(1)

$$L = D - A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0\\ -1 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$$

(2)

$$\begin{aligned} &\because|T| = |\lambda E - L| = \begin{bmatrix} \lambda - 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & \lambda -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \\ \end{bmatrix} = \lambda^2(\lambda - 3)^2 = 0\\ &\therefore\lambda_1 = 0(2重解) \quad \lambda_2 = 3(2重解) \end{aligned}$$

(3)

$$\lambda_1 = 0 \text{ のとき, }T_1x_1= 0 ,\text{ そして, } x_1 = \begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{bmatrix} \text{ とおくと,}$$

$$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{bmatrix} = 0$$

$$x_1 = s\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} \Rightarrow V(0) = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} \right\}$$

$$\lambda_2 = 3 \text{ のとき, }T_2x_2= 0 ,\text{ そして, } x_2 = \begin{bmatrix}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \end{bmatrix} \text{ とおくと,}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \\ \end{bmatrix} = 0$$

$$x_2 = s\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \Rightarrow V(3) = \left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \right\}$$

(4)

$$\begin{aligned} |L| &= \begin{vmatrix} \sum_{k=1}^n a_{1k} - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \sum_{k=1}^n a_{2k} - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \sum_{k=1}^n a_{3k} - a_{33} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{nk} - a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ |L| &= \begin{vmatrix} 0 & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ 0 & \sum_{k=1}^n a_{2k} - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ 0 & -a_{32} & \sum_{k=1}^n a_{3k} - a_{33} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{nk} - a_{nn} \end{vmatrix} \\ |L| &= 0 \\ \lambda &= 0 \text{ のとき, }|L - \lambda E| = |L| = 0 \end{aligned}$$