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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2021年8月実施 ベクトル解析

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Author​

Miyake, Casablanca

Description​

直交座標系において，x,y,zx, y, z 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i,j,k\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k} とする． ベクトル場 F\boldsymbol{F} を F=xi+2yj+10zk\boldsymbol{F} = x\boldsymbol{i} + 2y\boldsymbol{j} + 10z\boldsymbol{k} とする．次の面 S1S_1, S2S_2 及び S3S_3 に対する面積分を計算せよ．

(1) S1S_1 を円筒面 x2+z2=1 (0≤y≤4)x^2 + z^2 = 1\ (0 \le y \le 4) とする(上面と底面の無い円筒の表面)．円筒外向き法線ベクトルを用いよ．

(2) S2S_2 を円筒面の一部 x2+z2=1 (0≤y≤4,0≤z)x^2 + z^2 = 1\ (0 \le y \le 4, 0 \le z) と長方形面 z=0 (−1≤x≤1,0≤y≤4)z = 0\ (-1 \le x \le 1, 0 \le y \le 4) からなる半円筒面とする (上面と底面の無い半円筒の表面)．半円筒外向き法線ベクトルを用いよ．

(3) S3S_3 を円筒面 x2+z2=1x^2 + z^2 = 1 と，平面 z=0,y=0,x+y=4z = 0, y=0, x+y=4 で囲まれた領域の境界とする．外向き法線ベクトルを用いよ.

题目描述​

在直角坐标系中，i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k 分别为 x,y,zx,y,z 轴方向的单位向量。给定

F=xi+2yj+10zk,\boldsymbol F=x\boldsymbol i+2y\boldsymbol j+10z\boldsymbol k,

分别计算 F\boldsymbol F 对下列曲面的通量积分：

  1. S1S_1 为无上下底的完整圆柱侧面
    x2+z2=1,0≤y≤4,x^2+z^2=1,\qquad0\le y\le4,
    取圆柱外向法线。
  2. S2S_2 由上半圆柱侧面
    x2+z2=1,0≤y≤4,z≥0x^2+z^2=1,\qquad0\le y\le4,\quad z\ge0
    与矩形面
    z=0,−1≤x≤1,0≤y≤4z=0,\qquad-1\le x\le1,\quad0\le y\le4
    构成，不含两端面，取半圆柱外向法线。
  3. S3S_3 是由圆柱面 x2+z2=1x^2+z^2=1 和平面 z=0z=0、y=0y=0、x+y=4x+y=4 围成区域的完整边界，取外向法线。

Kai​

(1)​

S1S_1 上の点は

icos⁡φ+yj+ksin⁡φ    (0≤φ<2π,  0≤y≤4) \begin{aligned} \boldsymbol{i} \cos \varphi + y \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k} \sin \varphi \ \ \ \ (0 \leq \varphi \lt 2 \pi, \ \ 0 \leq y \leq 4) \end{aligned}

と表せる。 S1S_1 の外向きの単位法線ベクトルを n\boldsymbol{n} とすると、

n=icos⁡φ+ksin⁡φF=icos⁡φ+2yj+10ksin⁡φF⋅n=cos⁡2φ+10sin⁡2φ=112−92cos⁡2φ \begin{aligned} \boldsymbol{n} &= \boldsymbol{i} \cos \varphi + \boldsymbol{k} \sin \varphi \\ \boldsymbol{F} &= \boldsymbol{i} \cos \varphi + 2y \boldsymbol{j} + 10 \boldsymbol{k} \sin \varphi \\ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \cos^2 \varphi + 10 \sin^2 \varphi \\ &= \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi \end{aligned}

なので、求める積分は

∫S1dS F⋅n=∫02πdφ∫04dy(112−92cos⁡2φ)=44π \begin{aligned} \int_{S_1} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \int_0^{2 \pi} d \varphi \int_0^4 dy \left( \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi \right) \\ &= 44 \pi \end{aligned}

である。

(2)​

S2S_2 を次のように2つに分けて考える：

S2′ :  x2+z2=1  (0≤y≤4, 0≤z),S2′′ :  z=0  (−1≤x≤1, 0≤y≤4). \begin{aligned} S_2' \ &: \ \ x^2 + z^2 = 1 \ \ (0 \leq y \leq 4, \ 0 \leq z) , \\ S_2'' \ &: \ \ z=0 \ \ (-1 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 4) . \end{aligned}

S2′S_2' 上では (1) と同様に計算できる：

∫S2′dS F⋅n=∫0πdφ∫04dy(112−92cos⁡2φ)=22π. \begin{aligned} \int_{S_2'} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \int_0^{\pi} d \varphi \int_0^4 dy \left( \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi \right) \\ &= 22 \pi . \end{aligned}

S2′′S_2'' 上では、外向き単位法線ベクトルは n=−k\boldsymbol{n} = - \boldsymbol{k} で、 F=xi+2yj\boldsymbol{F} = x \boldsymbol{i} + 2y \boldsymbol{j} なので、 F⋅n=0\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} = 0 であり、 面積分は 00 である。

よって、求める積分は

∫S2dS F⋅n=∫S2′dS F⋅n=22π \begin{aligned} \int_{S_2} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \int_{S_2'} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \\ &= 22 \pi \end{aligned}

である。

(3)​

∇⋅F=∂∂x(x)+∂∂y(2y)+∂∂z(10z)=1+2+10=13\begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol{F} &= \frac{\partial}{\partial x} (x) + \frac{\partial}{\partial y} (2y) + \frac{\partial}{\partial z} (10z) \\ &= 1 + 2 + 10 = 13 \end{aligned}
∮SF⋅dS=∭Ω13 dV=26π\begin{aligned} \oint_S \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{S} &= \iiint_{\Omega} 13\ dV = 26 \pi \end{aligned}
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