九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2021年8月実施 ベクトル解析

Author

Miyake, Casablanca

Description

直交座標系において， 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ とする． ベクトル場 を とする．次の面 , 及び に対する面積分を計算せよ．

(1) を円筒面 とする(上面と底面の無い円筒の表面)．円筒外向き法線ベクトルを用いよ．

(2) を円筒面の一部 と長方形面 からなる半円筒面とする (上面と底面の無い半円筒の表面)．半円筒外向き法線ベクトルを用いよ．

(3) を円筒面 と，平面 で囲まれた領域の境界とする．外向き法線ベクトルを用いよ.

Kai

(1)

上の点は

と表せる。 の外向きの単位法線ベクトルを とすると、

なので、求める積分は

である。

(2)

を次のように2つに分けて考える：

上では (1) と同様に計算できる：

上では、外向き単位法線ベクトルは で、 なので、 であり、 面積分は である。

よって、求める積分は

である。

(3)