九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2021年8月実施 線形代数

Author

Miyake

Description

次元ユークリッド空間上の 個の点 に対し， 点 間のユークリッド距離を で表す．ただし，各 は列ベクトルである． また， を添字順に並べて得られる行列を とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1) n = 2とする．以下の2つの場合に対して，等式条件を満たす3個の点 の組をそれぞれ1つ求めよ．

• (a)
• (b)

(2) とし， を添字順に並べて得られる行列を とする． (1) で求めた答えに対し， をそれぞれ計算せよ．

(3) 一般に が半正定値であることを示せ．ただし， 実対称行列 が半正定値であるとは，任意のベクトル に対して が成り立つことをいう．

Kai

(1)

(a)

(b)

(2)

(a)

(b)

(3)

ベクトル のノルムを で表す。

与えられた定義より、

なので、

がわかる。 よって、任意の について

が成り立つので、 は半正定値である。