九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2021年8月実施 解析学・微積分

Author

Miyake

Description

(1) 上で微分可能な実数値関数 について、 とおく。ただし、各 は 上で微分可能な関数とする。次の各問いに答えよ。

• (a) を と で表せ。
• (b) , , , のとき、 を求めよ。

(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。

(3) 閉曲線 に沿った複素積分

を求めよ。ただし、 は円 とする。

Kai

(1)

(a)

(b)

あるいは、 は使わず のみで表すと、

(2)

まず、与えられた微分方程式の右辺を とした方程式

を考えると、これは

と変形できるので、一般解は、 を任意定数として、次のように求まる：

そこで、 を の関数と考えて、 を与えられた微分方程式に代入すると、

を得るので、求める一般解は

である。 ただし、 は任意定数である。

(3)

として、次のように においてローラン展開できる：

よって、

がわかる。