九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2021年8月実施 解析学・微積分

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• Multivariable-Differentiation
• First-Order-Ordinary-Differential-Equation
• Cauchy-Integral-Formula

Author

Miyake

Description

(1) $\mathbb{R}^m$ 上で微分可能な実数値関数 $f(x)$ $(x = (x_1, x_2, ..., x_m))$ について、$x_i = v_i(t)$ $(i = 1, 2, ..., m)$ とおく。ただし、各 $v_i$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能な関数とする。次の各問いに答えよ。

• (a) $\frac{df}{dt}$ を $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ と $\frac{dv_i}{dt}$ $(i = 1, 2, ..., m)$ で表せ。
• (b) $m = 2$, $f(x) = x_1^2 + x_1x_2 + 2x_2^2$, $v_1(t) = \sin t$, $v_2(t) = e^t$ のとき、$\frac{df}{dt}$ を求めよ。

(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx} - 2xy = e^{x^2}$$

(3) 閉曲線 $C$ に沿った複素積分

$$\oint_C \frac{\cos z}{(2z - \pi)^3} dz$$

を求めよ。ただし、$C$ は円 $|z| = 2$ とする。

Kai

(1)

(a)

$$\begin{aligned} \frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{dv_i}{dt} \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} \frac{df}{dt} = (2x_1+x_2) \cos t + (x_1+4x_2)e^t \end{aligned}$$

あるいは、 $x_1, x_2$ は使わず $t$ のみで表すと、

$$\begin{aligned} \frac{df}{dt} = \sin 2t + e^t \cos t + e^t \sin t + 4 e^{2t} \end{aligned}$$

(2)

まず、与えられた微分方程式の右辺を $0$ とした方程式

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} - 2xy = 0 \end{aligned}$$

を考えると、これは

$$\begin{aligned} \frac{dy}{y} = 2x dx \end{aligned}$$

と変形できるので、一般解は、$A$ を任意定数として、次のように求まる：

$$\begin{aligned} y = A e^{x^2} . \end{aligned}$$

そこで、 $A$ を $x$ の関数と考えて、 $y = A(x)e^{x^2}$ を与えられた微分方程式に代入すると、

$$\begin{aligned} \frac{dA(x)}{dx} &= 1 \\ \therefore \ \ A(x) &= x + C \end{aligned}$$

を得るので、求める一般解は

$$\begin{aligned} y = (x+C) e^{x^2} \end{aligned}$$

である。 ただし、 $C$ は任意定数である。

(3)

$w=z-\pi/2$ として、次のように $w=0$ においてローラン展開できる：

$$\begin{aligned} \frac{\cos z}{(2z - \pi)^3} &= - \frac{1}{8} \frac{\sin w}{w^3} \\ &= - \frac{1}{8w^3} \left( w - \frac{1}{6} w^3 + \cdots \right) \\ &= - \frac{1}{8} \left( \frac{1}{w^2} - \frac{1}{6} + \cdots \right) . \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} \oint_C \frac{\cos z}{(2 \pi - z)^2} = 0 \end{aligned}$$

がわかる。