九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2020年12月実施 ベクトル解析

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• Plane-and-Distance-in-Three-Dimensional-Euclidean-Space
• Line-Integral

Author

Yu, 祭音Myyura

Description

直交座標系において, $x,y,z$ 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ とする。次の各問に答えよ。

(1) $3$点 $(2,-6,2),(1,-10,-1)$ および $(-1,2,3)$ が決定する平面と点 $(2,-2,-2)$ との距離を求めよ。

(2) ベクトル場 $\mathbf{F}$ を $\mathbf{F} = \big(-\frac{xy}{4}\big)\mathbf{i} + (z - x)\mathbf{j} + (x + y)\mathbf{k}$ とする。曲線 $C:x = \frac{y^2}{8},y = -z$ に沿って, $(0,0,0)$ から $\big(\frac{9}{2},6,-6\big)$ までの線積分 $\int_{C} \mathbf{F} \times d \mathbf{r}$ を計算せよ。

题目描述

在直角坐标系中，$\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ 分别为 $x,y,z$ 轴方向的单位向量。

1. 求由三点 $(2,-6,2)$、$(1,-10,-1)$、$(-1,2,3)$ 确定的平面与点 $(2,-2,-2)$ 之间的距离。

2. 给定向量场

   $$\mathbf F=-\frac{xy}{4}\mathbf i+(z-x)\mathbf j+(x+y)\mathbf k,$$

   沿曲线

   $$C:\ x=\frac{y^2}{8},\qquad y=-z$$

   从 $(0,0,0)$ 到 $(9/2,6,-6)$，计算线积分

   $$\int_C\mathbf F\times d\mathbf r.$$

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \mathbf{v}_1 = \langle -1,-4,-3 &\rangle \quad \mathbf{v}_2 = \langle -3,8,1 \rangle \\ \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2&= \langle 20,10,-20 \rangle \\ \mathbf{n} &= \langle 2,1,-2 \rangle \\ 2x + y &- 2z + d = 0\\ (2,-6,2)&\text{を代入して}, d=6\\ 2x + y &- 2z + 6 = 0\\ \end{aligned}$$

$$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = 4$$

(2)

曲線を $y=t$ で表すと、

$$\mathbf r(t)=\left(\frac{t^2}{8},t,-t\right),\qquad \mathbf r'(t)=\left(\frac t4,1,-1\right),\qquad 0\le t\le6.$$

したがって、

$$\begin{aligned} \mathbf F(\mathbf r(t)) &=\left(-\frac{t^3}{32},-t-\frac{t^2}{8},t+\frac{t^2}{8}\right),\\ \mathbf F(\mathbf r(t))\times\mathbf r'(t) &=\left(0,\frac{t^2}{4},\frac{t^2}{4}\right). \end{aligned}$$

よって、

$$\boxed{\int_C\mathbf F\times d\mathbf r =\int_0^6\left(0,\frac{t^2}{4},\frac{t^2}{4}\right)\,dt =18\mathbf j+18\mathbf k.}$$