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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2020年12月実施 線形代数

标签：

Author​

Yu, 祭音Myyura

Description​

n×mn \times m 実行列 A∈Rn×mA \in \mathbb{R}^{n \times m} の第 jj 列 (j=1,2,…,m)(j = 1, 2, \dots , m) を aj∈Rna_j \in \mathbb{R}^n とする．各部分集合 J⊆{1,2,…,m}J \subseteq \{1, 2, \dots , m\} について，その要素数を ∣J∣|J| で表し， aj(j∈J)a_j (j \in J) を jj に関する昇順で左から並べて得られる AA の部分行列を A[J]∈Rn×∣J∣A[J] \in \mathbb{R}^{n \times |J|} で表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 以下の行列 AA に対し， {aj∣j∈J}\{a_j|j \in J\} が線形独立であるような部分集合 J⊆{1,2,3,4,5,6}J \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} をすべて求めよ．

A=(100−200010−2−3−5−2−20460)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -3 & -5 \\ -2 & -2 & 0 & 4 & 6 & 0 \\ \end{pmatrix}

(2) (1) の行列 AA に対し， rank(A[J])<∣J∣\text{rank}(A[J]) < |J| を満たす部分集合 J⊆{1,2,3,4,5,6}J \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} であって， JJ の任意の真部分集合 I⊊JI \subsetneq J について rank(A[I])=∣I∣\text{rank}(A[I]) = |I| が成り立つものをすべて求めよ．ただし，空集合 ∅\emptyset に対しては rank(A[∅])=0\text{rank}(A[\emptyset]) = 0 と定義する．

(3) 一般の A∈Rn×mA \in \mathbb{R}^{n×m} について， I⊆J⊆{1,2,…,m}I \subseteq J \subseteq \{1, 2, \dots , m\} かつ rank(A[J])=∣J∣\text{rank}(A[J]) = |J| のとき， rank(A[I])=∣I∣\text{rank}(A[I]) = |I| が成り立つことを示せ．

题目描述​

设实矩阵 A∈Rn×mA\in\mathbb R^{n\times m} 的第 jj 列为

aj∈Rn(j=1,2,…,m).a_j\in\mathbb R^n\qquad(j=1,2,\ldots,m).

对每个子集 J⊆{1,2,…,m}J\subseteq\{1,2,\ldots,m\}，以 ∣J∣|J| 表示其元素个数；将所有 aja_j（j∈Jj\in J）按下标 jj 递增的顺序从左到右排列，所得子矩阵记为

A[J]∈Rn×∣J∣.A[J]\in\mathbb R^{n\times|J|}.

回答下列问题：

  1. 对
A=(100−200010−2−3−5−2−20460),A=\begin{pmatrix} 1&0&0&-2&0&0\\ 0&1&0&-2&-3&-5\\ -2&-2&0&4&6&0 \end{pmatrix},

求全部使列集合 {aj∣j∈J}\{a_j\mid j\in J\} 线性无关的

J⊆{1,2,3,4,5,6}.J\subseteq\{1,2,3,4,5,6\}.

  1. 对第 1 问的同一矩阵，求全部满足

    rank⁡(A[J])<∣J∣\operatorname{rank}(A[J])<|J|

    且对 JJ 的每个真子集 I⊊JI\subsetneq J 都满足

    rank⁡(A[I])=∣I∣\operatorname{rank}(A[I])=|I|

    的 J⊆{1,2,3,4,5,6}J\subseteq\{1,2,3,4,5,6\}。约定空集满足

    rank⁡(A[∅])=0.\operatorname{rank}(A[\varnothing])=0.

  2. 对一般的 A∈Rn×mA\in\mathbb R^{n\times m}，证明：若

    I⊆J⊆{1,2,…,m},rank⁡(A[J])=∣J∣,I\subseteq J\subseteq\{1,2,\ldots,m\}, \qquad \operatorname{rank}(A[J])=|J|,

    则 rank⁡(A[I])=∣I∣\operatorname{rank}(A[I])=|I|。

Kai​

(1)​

A=[100−200010−2−3−5−2−20460]⇒[1000050100−300001052]J={1}J={1,2}J={1,4}J={1,5}J={1,6}J={1,2,4}J={1,2,6}J={2}J={2,4}J={2,6}J={2,4,6}J={4}J={4,5}J={4,6}J={4,5,6}J={5}J={5,6}J={1,4,5}J={1,5,6}J={6}J=∅\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2 & -3 & -5\\ -2 & -2 & 0 & 4 & 6 & 0\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ \end{bmatrix} \\ J &= \{1\} \quad J = \{1,2\} \quad J = \{1,4\} \quad J = \{1,5\} \quad J = \{1,6\} \quad J = \{1,2,4\} \quad J = \{1,2,6\} \\ J &= \{2\} \quad J = \{2,4\} \quad J = \{2,6\} \quad J = \{2,4,6\} \\ J &= \{4\} \quad J = \{4,5\} \quad J = \{4,6\} \quad J = \{4,5,6\} \\ J &= \{5\} \quad J = \{5,6\} \\ J &= \{1,4,5\} \quad J = \{1,5,6\} \\ J &= \{6\} \\ J &= \emptyset \end{aligned}

(2)​

J={3}J={2,5}J={1,4,6}J = \{3\} \quad J = \{2,5\} \quad J = \{1,4,6\}

(3)​

rank(A[J])=∣J∣\text{rank}(A[J]) = |J| より、 {aj∣j∈J}\{a_j|j \in J\} は線型独立である.

線型独立な集合の部分集合は線型独立である.

よって, {ai∣i∈I}\{a_i|i \in I\} は線型独立である. rank(A[I])=∣I∣\text{rank}(A[I]) = |I| .

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