九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2020年12月実施 解析学・微積分

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Author

Yu, 祭音Myyura

Description

微分積分

$\mathbb{R}^2$ 上の関数

$$f(x,y) = (x + y)\exp \big(-\frac{x^2+y^2}{2}\big)$$

について次の各問いに答えよ．

(1) $f$ の停留点を全て求めよ．

(2) $f$ の極大点と極小点を全て求めよ．

(3) $f$ の最大値または最小値が存在する場合，それらを求めよ．

微分方程式

次の微分方程式の一般解を求めよ．

(1)

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x^2 + 6y^2}{4xy}$$

(2)

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = e^{2x + y + 1} - 1$$

複素関数論

次の各問に答えよ．

(1) 複素関数 $f(z) = \frac{1}{z(z - 2)^2}$ を $z = 0$ でローラン展開せよ．

(2) 複素関数 $g(z) = z\sin\frac{1}{z + 2}$ を $z = −2$ でローラン展開し，級数が収束する領域を示せ． 次に， $z = −2$ における留数を求めよ．

题目描述

本题分为三部分。

一、微积分

对定义在 $\mathbb R^2$ 上的二元函数

$$f(x,y)=(x+y)\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right),$$

回答下列问题：

1. 求 $f$ 的全部驻点。
2. 求 $f$ 的全部局部极大点和局部极小点。
3. 若 $f$ 存在全局最大值或全局最小值，求出这些最值。

二、微分方程

分别求下列两个一阶微分方程的通解：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+6y^2}{4xy}.$$

$$\frac{dy}{dx}=e^{2x+y+1}-1.$$

三、复函数论

1. 将

   $$f(z)=\frac1{z(z-2)^2}$$

   在 $z=0$ 处作洛朗展开。由于另一奇点位于 $z=2$，Kai 分别给出了 $0<|z|<2$ 与 $|z|>2$ 两个环域的展开，作答时应分别注明。

2. 将

   $$g(z)=z\sin\frac1{z+2}$$

   在 $z=-2$ 处作洛朗展开，指出级数的收敛区域，并求 $z=-2$ 处的留数。

Kai

微分積分

(1)

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= (1 - x(x + y))e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= (1 - y(x + y))e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \\ &\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \\ (x , y) &= (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \text{or} (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} A &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (x^3 + x^2y - 3x - y)e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \\ B &= \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = (x^2y + xy^2 - x - y)e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \\ C &= \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = (y^3 + xy^2 - 3y - x)e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \end{aligned}$$

$$(x,y) = (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\text{ のとき,}$$

$$\begin{aligned} A &= -\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} < 0 \quad B = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} \quad C = -\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} \\ D &= AC - B^2 = 4e^{-1} > 0 \Rightarrow (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\text{ は極大点です.} \end{aligned}$$

$$(x,y) = (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\text{ のとき,}$$

$$\begin{aligned} A &= \frac{3\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} > 0 \quad B = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} \quad C = \frac{3\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} \\ D &= AC - B^2 = 4e^{-1} > 0 \Rightarrow (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\text{ は極小点です.} \end{aligned}$$

(3)

$$\text{最大値: }f(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}e^{-\frac{1}{2}}$$

$$\text{最小値: }f(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}e^{-\frac{1}{2}}$$

実際、$s=(x+y)/\sqrt2,\ t=(x-y)/\sqrt2$ とおくと $f=\sqrt2s e^{-(s^2+t^2)/2}$ である。固定した $s$ に対して絶対値は $t=0$ で最大となり、 $s e^{-s^2/2}$ の最大・最小はそれぞれ $s=1,-1$ で取られるので、上記は大域的な最大値・最小値である。

微分方程式

(1)

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x}{4y} + \frac{3y}{2x}$$

$$y = ux\text{ とすると, }\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}u}{\text{d}x}x + u$$

$$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}x + u = \frac{1}{4u} + \frac{3u}{2}$$

$$\frac{1}{x}\text{d}x = \frac{1}{2u^2 + 1}\text{d}(2u^2)$$

$$\ln|x| + C_1 = \ln(1 + 2u^2)$$

$$1 + 2u^2 = C|x|\qquad(C>0)$$

$$u = \pm\sqrt{\frac{C|x|-1}{2}}$$

$$y = \pm x\sqrt{\frac{C|x|-1}{2}}$$

ただし、各解は $x\ne0$ かつ $C|x|>1$ の区間上で考える。

(2)

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = e^{y}(e^{2x+1} - e^{-y})$$

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}e^{-y} = e^{2x+1} - e^{-y}$$

$$t = e^{-y} > 0 \text{ とすると, }\frac{\text{d}t}{\text{d}x} = -\frac{\text{d}y}{\text{d}x}e^{-y}$$

$$\frac{\text{d}t}{\text{d}x} = t - e^{2x + 1} \Rightarrow \frac{\text{d}t}{\text{d}x} - t = -e^{2x + 1}$$

$$P(x) = -1 \quad Q(x) = -e^{2x + 1}$$

$$t = e^{-\int P(x)\text{d}x}\big(\int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x + C\big) = e^{x}(-e^{x + 1} + C)$$

$$e^{-y} = e^{x}(-e^{x + 1} + C)$$

$$y = -\ln(e^{x}(-e^{x + 1} + C))$$

ただし、$e^x(C-e^{x+1})>0$、すなわち $C>e^{x+1}$ の区間上で考える。

複素関数論

(1)

$$0 < |z| < 2 \text{ のとき, }$$

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{z}\bigg(\frac{1}{2 - z}\bigg)' = \frac{1}{2z}\bigg(\frac{1}{1 - \frac{z}{2}}\bigg)' = \frac{1}{2z}\bigg(\sum_{n = 0}^{\infty}\big(\frac{z}{2}\big)^{n}\bigg)' \\ &= \frac{1}{2z}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2}n\big(\frac{z}{2}\big)^{n - 1} = \frac{1}{4z}\sum_{m = 0}^{\infty}(m + 1)\big(\frac{z}{2}\big)^{m} \end{aligned}$$

$$|z| > 2 \text{ のとき, }$$

$$\begin{aligned} f(z) &=\frac{1}{z^3}\frac{1}{\left(1-\frac{2}{z}\right)^2} =\frac{1}{z^3}\sum_{m = 0}^{\infty}(m + 1)\big(\frac{2}{z}\big)^{m} \end{aligned}$$

(2)

$$z + 2 = u \text{ とすれば, }z = u - 2 \text{ より, }$$

$$\begin{aligned} g(z) &= (u - 2)\sin\frac{1}{u} \\ &= (u - 2)\bigg(\frac{1}{u} - \frac{1}{3!u^3} + \frac{1}{5!u^5} - \cdots\bigg) \\ &= 1 - \frac{2}{u} - \frac{1}{3!u^2} + \frac{2}{3!u^3} + \frac{1}{5!u^4} - \cdots \\ &= 1 - \frac{2}{z + 2} - \frac{1}{3!(z + 2)^2} + \frac{2}{3!(z + 2)^3} + \frac{1}{5!(z + 2)^4} - \cdots \end{aligned}$$

$$z = -2 \text{ における留数は } -2$$

$$\text{ この級数が収束する領域は，複素平面全体から点 }z = -2\text{ を除いた領域である。}$$