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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2020年8月実施 線形代数

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Author​

Yu

Description​

n×mn \times m 実行列 A∈Rn×mA \in \mathbb{R}^{n \times m} の第 jj 列 (j=1,2,…,m)(j = 1, 2, \dots , m) を aj∈Rna_j \in \mathbb{R}^nとする．各部分集合 J⊆{1,2,…,m}J \subseteq \{1, 2, \dots , m\} について，その要素数を ∣J∣|J| で表し，aj(j∈J)a_j (j \in J) を jj に関する昇順で左から並べて得られる AA の部分行列を A[J]∈Rn×∣J∣A[J] \in \mathbb{R}^{n \times |J|} で表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 以下の行列 AA に対し，{aj∣j∈J}\{a_j|j \in J\} が線形独立であるような部分集合 J⊆{1,2,3,4,5,6}J \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} をすべて求めよ．

A=(100−200010−2−3−5−2−20460)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -3 & -5 \\ -2 & -2 & 0 & 4 & 6 & 0 \\ \end{pmatrix}

(2) (1) の行列 AA に対し，rank(A[J])<∣J∣\text{rank}(A[J]) < |J| を満たす部分集合 J⊆{1,2,3,4,5,6}J \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} であって，JJ の任意の真部分集合 I⊊JI \subsetneq J について rank(A[I])=∣I∣\text{rank}(A[I]) = |I| が成り立つものをすべて求めよ．ただし，空集合 ∅\emptyset に対しては rank(A[∅])=0\text{rank}(A[\emptyset]) = 0 と定義する．

(3) 一般の A∈Rn×mA \in \mathbb{R}^{n×m} について，I⊆J⊆{1,2,…,m}I \subseteq J \subseteq \{1, 2, \dots , m\} かつ rank(A[J])=∣J∣\text{rank}(A[J]) = |J| のとき，rank(A[I])=∣I∣\text{rank}(A[I]) = |I| が成り立つことを示せ．

题目描述​

设实矩阵 A∈Rn×mA\in\mathbb R^{n\times m} 的第 jj 列为 aj∈Rna_j\in\mathbb R^n。对每个 J⊆{1,…,m}J\subseteq\{1,\ldots,m\}，以 ∣J∣|J| 表示元素个数，并令 A[J]∈Rn×∣J∣A[J]\in\mathbb R^{n\times|J|} 为按下标递增排列所有 aja_j（j∈Jj\in J）所得的子矩阵。

  1. 对
    A=(100−200010−2−3−5−2−20460),A=\begin{pmatrix} 1&0&0&-2&0&0\\ 0&1&0&-2&-3&-5\\ -2&-2&0&4&6&0 \end{pmatrix},
    求全部使列集合 {aj∣j∈J}\{a_j\mid j\in J\} 线性无关的 J⊆{1,…,6}J\subseteq\{1,\ldots,6\}。
  2. 对同一矩阵，求全部满足 rank⁡(A[J])<∣J∣\operatorname{rank}(A[J])<|J|、但每个真子集 I⊊JI\subsetneq J 均满足 rank⁡(A[I])=∣I∣\operatorname{rank}(A[I])=|I| 的 JJ。约定 rank⁡(A[∅])=0\operatorname{rank}(A[\varnothing])=0。
  3. 对一般的 A∈Rn×mA\in\mathbb R^{n\times m}，证明若 I⊆J⊆{1,…,m}I\subseteq J\subseteq\{1,\ldots,m\} 且 rank⁡(A[J])=∣J∣\operatorname{rank}(A[J])=|J|，则 rank⁡(A[I])=∣I∣\operatorname{rank}(A[I])=|I|。

考点​

  • 线性无关与矩阵秩：枚举给定矩阵中所有线性无关的列子集，并用秩刻画独立性。
  • 极小相关集：找出自身相关而任意真子集均独立的列下标集合，即列向量拟阵中的回路。
  • 独立集的遗传性质：证明线性无关列集的任意子集仍线性无关。

Kai​

(1)​

A=[100−200010−2−3−5−2−2046−10]⇒[1000050100−300001052]J={1}J={1,2}J={1,4}J={1,5}J={1,6}J={1,2,4}J={1,2,6}J={2}J={2,4}J={2,6}J={2,4,6}J={4}J={4,5}J={4,6}J={4,5,6}J={5}J={5,6}J={6}J=∅\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2 & -3 & -5\\ -2 & -2 & 0 & 4 & 6 & -10\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ \end{bmatrix} \\ J &= \{1\} \quad J = \{1,2\} \quad J = \{1,4\} \quad J = \{1,5\} \quad J = \{1,6\} \quad J = \{1,2,4\} \quad J = \{1,2,6\} \\ J &= \{2\} \quad J = \{2,4\} \quad J = \{2,6\} \quad J = \{2,4,6\} \\ J &= \{4\} \quad J = \{4,5\} \quad J = \{4,6\} \quad J = \{4,5,6\} \\ J &= \{5\} \quad J = \{5,6\} \\ J &= \{6\} \\ J &= \emptyset \end{aligned}

(2)​

J={3}J={2,5}J={1,4,6}J = \{3\} \quad J = \{2,5\} \quad J = \{1,4,6\}

(3)​

rank(A[J])=∣J∣\text{rank}(A[J]) = |J| より、{aj∣j∈J}\{a_j|j \in J\} は線型独立である.

線型独立な集合の部分集合は線型独立である.

よって, {ai∣i∈I}\{a_i|i \in I\} は線型独立である. rank(A[I])=∣I∣\text{rank}(A[I]) = |I|.

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