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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2020年8月実施 解析学・微積分

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Author​

Yu

Description​

微分積分​

R\mathbb{R} 上の関数

f(x,y)=(x+y)exp⁡(−x2+y22)f(x,y) = (x + y)\exp \big(-\frac{x^2+y^2}{2}\big)

について次の各問いに答えよ．

(1) ff の停留点を全て求めよ．

(2) ff の極大点と極小点を全て求めよ．

(3) ff の最大値または最小値が存在する場合，それらを求めよ．

微分方程式​

次の微分方程式の一般解を求めよ．

(1)

dydx=x2+6y24xy\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x^2 + 6y^2}{4xy}

(2)

dydx=e2x+y+1−1\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = e^{2x + y + 1} - 1

複素関数論​

次の各問に答えよ．

(1) 複素関数 f(z)=1z(z−2)2f(z) = \frac{1}{z(z - 2)^2} を z=0z = 0 でローラン展開せよ．

(2) 複素関数 g(z)=zsin⁡1z+2g(z) = z\sin\frac{1}{z + 2} を z=−2z = −2 でローラン展開し，級数が収束する領域を示せ． 次に，z=−2z = −2 における留数を求めよ．

题目描述​

本题包括三部分。

微积分：对定义在 R2\mathbb R^2 上的函数

f(x,y)=(x+y)exp⁡(−x2+y22),f(x,y)=(x+y)\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right),

求全部驻点；判定全部极大点与极小点；若全局最大值或最小值存在，求出相应值。

微分方程：分别求下列方程的通解：

dydx=x2+6y24xy,dydx=e2x+y+1−1.\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+6y^2}{4xy}, \qquad \frac{dy}{dx}=e^{2x+y+1}-1.

复函数论：

  1. 将 f(z)=1/[z(z−2)2]f(z)=1/[z(z-2)^2] 在 z=0z=0 处作洛朗展开。
  2. 将 g(z)=zsin⁡(1/(z+2))g(z)=z\sin(1/(z+2)) 在 z=−2z=-2 处作洛朗展开，指出级数收敛区域，并求 z=−2z=-2 处的留数。

考点​

  • 多元函数极值：解梯度为零的方程，以 Hessian 判定局部极值，并结合无穷远行为判断全局最值。
  • 一阶常微分方程：识别齐次型或可经变量代换化简的方程，完成分离或线性化后求通解。
  • 洛朗级数：围绕指定中心选取适当几何级数或正弦幂级数展开，并确定收敛环域。
  • 留数：从洛朗展开中提取 (z+2)−1(z+2)^{-1} 项的系数。

Kai​

微分積分​

(1)​

∂f∂x=(1−x(x+y))e−x2+y22∂f∂y=(1−y(x+y))e−x2+y22∂f∂x=∂f∂y=0(x,y)=(22,22)or(−22,−22)\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= (1 - x(x + y))e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= (1 - y(x + y))e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \\ &\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \\ (x , y) &= (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \text{or} (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}) \end{aligned}

(2)​

A=∂2f∂x2=(x3+x2y−3x−y)e−x2+y22B=∂2f∂x∂y=(x2y+xy2−x−y)e−x2+y22C=∂2f∂y2=(y3+xy2−3y−x)e−x2+y22\begin{aligned} A &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (x^3 + x^2y - 3x - y)e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \\ B &= \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = (x^2y + xy^2 - x - y)e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \\ C &= \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = (y^3 + xy^2 - 3y - x)e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \end{aligned}
(x,y)=(22,22) のとき,(x,y) = (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\text{ のとき,}
A=−322e−12<0B=−22e−12C=−322e−12D=AC−B2=4e−1>0⇒(22,22) は極大点です.\begin{aligned} A &= -\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} < 0 \quad B = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} \quad C = -\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} \\ D &= AC - B^2 = 4e^{-1} > 0 \Rightarrow (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\text{ は極大点です.} \end{aligned}
(x,y)=(−22,−22) のとき,(x,y) = (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\text{ のとき,}
A=322e−12>0B=22e−12C=322e−12D=AC−B2=4e−1>0⇒(−22,−22) は極小点です.\begin{aligned} A &= \frac{3\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} > 0 \quad B = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} \quad C = \frac{3\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} \\ D &= AC - B^2 = 4e^{-1} > 0 \Rightarrow (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\text{ は極小点です.} \end{aligned}

(3)​

最大値: f(22,22)=2e−12\text{最大値: }f(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}e^{-\frac{1}{2}}
最小値: f(−22,22)=−2e−12\text{最小値: }f(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}e^{-\frac{1}{2}}

微分方程式​

(1)​

dydx=x4y+3y2x\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x}{4y} + \frac{3y}{2x}
y=ux とすると, dydx=dudxx+uy = ux\text{ とすると, }\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}u}{\text{d}x}x + u
dudxx+u=14u+3u2\frac{\text{d}u}{\text{d}x}x + u = \frac{1}{4u} + \frac{3u}{2}
1xdx=12u2+1d(2u2)\frac{1}{x}\text{d}x = \frac{1}{2u^2 + 1}\text{d}(2u^2)
ln⁡∣x∣+C1=ln⁡∣1+2u2∣\ln|x| + C_1 = \ln|1 + 2u^2|
1+2u2=eC1x1 + 2u^2 = e^{C_1}x
u=±2(Cx−1)2(C=eC1)u = \pm\frac{\sqrt{2(Cx - 1)}}{2}(C = e^{C_1})
y=ux=±2(Cx−1)2x(C=eC1)y = ux = \pm\frac{2(Cx - 1)}{2}x(C = e^{C_1})

(2)​

dydx=ey(e2x+1−e−y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = e^{y}(e^{2x+1} - e^{-y})
dydxe−y=e2x+1−e−y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}e^{-y} = e^{2x+1} - e^{-y}
t=e−y>0 とすると, dtdx=−dydxe−yt = e^{-y} > 0 \text{ とすると, }\frac{\text{d}t}{\text{d}x} = -\frac{\text{d}y}{\text{d}x}e^{-y}
dtdx=t−e2x+1⇒dtdx−t=−e2x+1\frac{\text{d}t}{\text{d}x} = t - e^{2x + 1} \Rightarrow \frac{\text{d}t}{\text{d}x} - t = -e^{2x + 1}
P(x)=1Q(x)=−e2x+1P(x) = 1 \quad Q(x) = -e^{2x + 1}
t=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)=ex(−ex+1+C)t = e^{-\int P(x)\text{d}x}\big(\int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x + C\big) = e^{x}(-e^{x + 1} + C)
e−y=ex(−ex+1+C)e^{-y} = e^{x}(-e^{x + 1} + C)
y=−ln⁡(ex(−ex+1+C))y = -\ln(e^{x}(-e^{x + 1} + C))

複素関数論​

(1)​

0<∣z∣<2 のとき, 0 < |z| < 2 \text{ のとき, }
f(z)=1z(12−z)′=12z(11−z2)′=12z(∑n=0∞(z2)n)′=12z∑n=1∞12n(z2)n−1=14z∑m=0∞(m+1)(z2)m\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{z}\bigg(\frac{1}{2 - z}\bigg)' = \frac{1}{2z}\bigg(\frac{1}{1 - \frac{z}{2}}\bigg)' = \frac{1}{2z}\bigg(\sum_{n = 0}^{\infty}\big(\frac{z}{2}\big)^{n}\bigg)' \\ &= \frac{1}{2z}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2}n\big(\frac{z}{2}\big)^{n - 1} = \frac{1}{4z}\sum_{m = 0}^{\infty}(m + 1)\big(\frac{z}{2}\big)^{m} \end{aligned}
∣z∣>2 のとき, |z| > 2 \text{ のとき, }
f(z)=1z(12−z)′=−12z(11−2z)′=−12z(∑n=0∞(2z)n)′=−12z∑n=1∞−2z2n(2z)n−1=1z3∑m=0∞(m+1)(2z)m\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{z}\bigg(\frac{1}{2 - z}\bigg)' = -\frac{1}{2z}\bigg(\frac{1}{1 - \frac{2}{z}}\bigg)' = -\frac{1}{2z}\bigg(\sum_{n = 0}^{\infty}\big(\frac{2}{z}\big)^{n}\bigg)' \\ &= -\frac{1}{2z}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{-2}{z^2}n\big(\frac{2}{z}\big)^{n - 1} = \frac{1}{z^3}\sum_{m = 0}^{\infty}(m + 1)\big(\frac{2}{z}\big)^{m} \end{aligned}

(2)​

z+2=u とすれば, z=u−2 より, z + 2 = u \text{ とすれば, }z = u - 2 \text{ より, }
g(z)=(u−2)sin⁡1u=(u−2)(1u−13!u3+15!u5−⋯)=1−2u−13!u2+23!u3+15!u4−⋯=1−2z+2−13!(z+2)2+23!(z+2)3+15!(z+2)4−⋯\begin{aligned} g(z) &= (u - 2)\sin\frac{1}{u} \\ &= (u - 2)\bigg(\frac{1}{u} - \frac{1}{3 !u^3 } + \frac{1}{5!u^5} - \cdots\bigg) \\ &= 1 - \frac{2}{u} - \frac{1}{3!u^2} + \frac{2}{3!u^3} + \frac{1}{5!u^4} - \cdots \\ &= 1 - \frac{2}{z + 2} - \frac{1}{3!(z + 2)^2} + \frac{2}{3!(z + 2)^3} + \frac{1}{5!(z + 2)^4} - \cdots \end{aligned}
z=−2 における留数は −2z = -2 \text{ における留数は } -2
 この級数が収束する領域は，複素平面全体から点 z=−2 を除いた領域である。\text{ この級数が収束する領域は，複素平面全体から点 }z = -2\text{ を除いた領域である。}
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