九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2019年8月実施 ベクトル解析

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Author

Yu

Description

直交座標系において,$x,y,z$ 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ とする。次の各問に答えよ。

(1) 面 $z = x^2 + y^2$ と面 $z = \big(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2 + \big(y - \frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2$ について, 次の問いに答えよ。

$\quad$ (a) 点 $P\big(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{1}{4}\big)$ が, いずれの面にも含まれることを示せ。

$\quad$ (b) 点 $P$ において, それぞれの面の法線のなす角を求めよ。

(2)ベクトル場 $\mathbf{A}$ を $\mathbf{A} = x^2\mathbf{i} - y^2\mathbf{j} + z^2\mathbf{k}$ とする。$S$ を $x^2 + y^2 = 9,z = 0,z = 4$ で囲まれた円筒の表面とするとき, 面積分

$$\int \int_{S} \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} dS$$

を求めよ (ただし, $\mathbf{n}$ は $S$ の外向き単位法線ベクトル) 。

题目描述

在直角坐标系中，$\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ 分别为 $x,y,z$ 轴方向的单位向量。

1. 对曲面
   $$z=x^2+y^2$$
   与
   $$z=\left(x-\frac1{\sqrt2}\right)^2+ \left(y-\frac1{\sqrt2}\right)^2,$$
   回答：
   • 证明点 $P(\sqrt2/4,\sqrt2/4,1/4)$ 同时位于两个曲面上；
   • 求两曲面在 $P$ 点的法线夹角。
2. 给定向量场
   $$\mathbf A=x^2\mathbf i-y^2\mathbf j+z^2\mathbf k,$$
   令 $S$ 为由 $x^2+y^2=9$、$z=0$ 和 $z=4$ 围成的封闭圆柱表面。取外向单位法向量 $\mathbf n$，计算通量
   $$\iint_S\mathbf A\cdot\mathbf n\,dS.$$

Kai

(1)

(a)

$$z = x^2 + y^2 = \big(\frac{\sqrt{2}}{4}\big)^2 + \frac{\sqrt{2}}{4}\big)^2 = \frac{1}{4}$$

$$z = \big(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2 + \big(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2 = \frac{1}{4}$$

(b)

$$\begin{aligned} \mathbf{N}_1 = \frac{\partial \mathbf{r}_1}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}_1}{\partial y} = \langle -2x,&-2y,1 \rangle = \langle -\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1 \rangle \\ \mathbf{N}_2 = \frac{\partial \mathbf{r}_2}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}_2}{\partial y} = \langle -2(x - \frac{1}{\sqrt{2}}),&-2(y - \frac{1}{\sqrt{2}}),1 \rangle = \langle \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1 \rangle \\ \cos\theta = \frac{\mathbf{N}_1 \cdot \mathbf{N}_2}{|\mathbf{N}_1||\mathbf{N}_2|} &= 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

(2)

$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x - 2y + 2z$$

$$\oint_\mathbf{A} \cdot \mathbf{n}dS = \int_{V} \nabla \cdot \mathbf{A}dV = \int_0^{2\pi} \int_0^3 \int_0^4 2(r\cos\theta - r\sin\theta + z)rdzdrd\theta = 144\pi$$