九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2019年8月実施 線形代数

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Author

Yu, 蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270), 祭音Myyura

Description

数列 $a_0，a_1，a_2, \cdots$ は, $a_0 = 3，a_1 = 1，a_2 = 3$ および

$$a_n = a_{n−1} + a_{n−2} + 2a_{n−3} \quad \quad (n = 3，4，5，\cdots)$$

で定義される．

(1) $a_3，a_4，a_5$ を求めよ．

(2) 各 $n = 0，1，2，\cdots$ について次が成立つような行列 $T$ を答えよ．

$$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ a_{n+3}\\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} a_n\\ a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ \end{pmatrix}$$

(3) $T$ のすべての固有値とそれぞれに対応する固有ベクトルを求めよ．

(4) ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\1 \\3 \end{pmatrix}$ を，前問で求めた固有ベクトルの線形結合として表せ．

(5) $a_n$ を求めよ．

题目描述

数列 $a_0,a_1,a_2,\ldots$ 的初值为

$$a_0=3,\qquad a_1=1,\qquad a_2=3,$$

并对 $n=3,4,5,\ldots$ 由递推关系

$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+2a_{n-3}$$

定义。回答下列问题：

1. 求 $a_3,a_4,a_5$。
2. 求一个矩阵 $T$，使下式对每个 $n=0,1,2,\ldots$ 都成立：

$$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n+2}\\a_{n+3} \end{pmatrix} =T \begin{pmatrix} a_n\\a_{n+1}\\a_{n+2} \end{pmatrix}.$$

3. 求 $T$ 的全部特征值及各自对应的特征向量。

4. 将列向量

   $$\begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix}$$

   表示成第 3 问所得特征向量的线性组合。

5. 求数列的通项 $a_n$。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} a_3 &= a_2 + a_1 + 2a_0 = 3 + 1 + 2 \times 3 = 10\\ a_4 &= a_3 + a_2 + 2a_1 = 10 + 3 + 2 \times 1 = 15\\ a_5 &= a_4 + a_3 + 2a_2 = 15 + 10 + 2 \times 3 = 31 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{bmatrix} a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ a_{n + 3}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ a_{n + 2} + a_{n + 1} + 2a_{n}\\ \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} a_n\\ a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ \end{bmatrix} \Rightarrow T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$$

(3)

$$\begin{aligned} &\because \det(\lambda E - T) = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -2 & -1 & \lambda -1\\ \end{vmatrix} = (\lambda^2 + \lambda + 1)(\lambda - 2) = 0 \\ &\therefore \lambda_1 = 2 \quad \lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \quad \lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \end{aligned}$$

$\lambda_1 = 2$ のとき, $A_1x_1 = 0$ であり、 $x_1 = \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \end{bmatrix}$ とおくと,

$$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ 0 & 2 & -1\\ -2 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$$

$\lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ のとき, $A_2x_2 = 0$ であり、 $x_2 = \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \beta_3\\ \end{bmatrix}$ とおくと,

$$\begin{bmatrix} \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} & -1 & 0 \\ 0 & \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} & -1 \\ -2 & -1 & \frac{-3 + \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \beta_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix}$$

$\lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ のとき, $A_3x_3 = 0$ であり、 $x_3 = \begin{bmatrix} \gamma_1\\ \gamma_2\\ \gamma_3\\ \end{bmatrix}$ とおくと,

$$\begin{bmatrix} \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} & -1 & 0\\ 0 & \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} & -1\\ -2 & -1 & \frac{-3 - \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1\\ \gamma_2\\ \gamma_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}\\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix}$$

(4)

$$\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}\\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix}$$

(5)

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix}a_n\\a_{n+1}\\a_{n+2}\end{bmatrix} &=T^n\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{bmatrix}\\ &=2^n x_1+\left(\frac{-1+\sqrt3 i}{2}\right)^n x_2 +\left(\frac{-1-\sqrt3 i}{2}\right)^n x_3. \end{aligned}$$

各固有ベクトルの第1成分は $1$ なので、

$$\begin{aligned} a_n &=2^n+\left(\frac{-1+\sqrt3 i}{2}\right)^n +\left(\frac{-1-\sqrt3 i}{2}\right)^n\\ &=\boxed{2^n+2\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)} \qquad(n\ge0). \end{aligned}$$