九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2019年8月実施 線形代数

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Author

Yu, 蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

Description

数列 $a_0，a_1，a_2, \cdots$ は, $a_0 = 3，a_1 = 1，a_2 = 3$ および

$$a_n = a_{n−1} + a_{n−2} + 2a_{n−3} \quad \quad (n = 3，4，5，\cdots)$$

で定義される．

(1) $a_3，a_4，a_5$ を求めよ．

(2) 各 $n = 0，1，2，\cdots$ について次が成立つような行列 $T$ を答えよ．

$$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ a_{n+3}\\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} a_n\\ a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ \end{pmatrix}$$

(3) $T$ のすべての固有値とそれぞれに対応する固有ベクトルを求めよ．

(4) ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\1 \\3 \end{pmatrix}$を，前問で求めた固有ベクトルの線形結合として表せ．

(5) $a_n$ を求めよ．

题目描述

数列 $a_0,a_1,a_2,\ldots$ 由

$$a_0=3,\qquad a_1=1,\qquad a_2=3,$$

以及递推关系

$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+2a_{n-3} \qquad(n=3,4,5,\ldots)$$

定义。

1. 求 $a_3,a_4,a_5$。
2. 求使下式对所有 $n=0,1,2,\ldots$ 成立的矩阵 $T$：
   $$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n+2}\\a_{n+3}\end{pmatrix} =T\begin{pmatrix}a_n\\a_{n+1}\\a_{n+2}\end{pmatrix}.$$
3. 求 $T$ 的全部特征值及各自对应的特征向量。
4. 将向量 $(3,1,3)^\top$ 表示为上一问所得特征向量的线性组合。
5. 求 $a_n$ 的显式表达式。

考点

• 线性递推关系：把三阶递推式写成状态向量的一阶矩阵递推，并计算初始若干项。
• 特征值与特征向量：求转移矩阵的特征分解，并把初始状态展开到特征向量基。
• 矩阵法求通项：利用特征分解计算 $T^n$ 对初始向量的作用，得到数列通项。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} a_3 &= a_2 + a_1 + 2a_0 = 3 + 1 + 2 \times 3 = 10\\ a_4 &= a_3 + a_2 + 2a_1 = 10 + 3 + 2 \times 1 = 15\\ a_5 &= a_4 + a_3 + 2a_2 = 15 + 10 + 2 \times 3 = 31 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{bmatrix} a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ a_{n + 3}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ a_{n + 2} + a_{n + 1} + 2a_{n}\\ \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} a_n\\ a_{n + 1}\\ a_{n + 2}\\ \end{bmatrix} \Rightarrow T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$$

(3)

$$\begin{aligned} &\because |A| = |\lambda E - T| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -2 & -1 & \lambda -1\\ \end{vmatrix} = (\lambda^2 + \lambda + 1)(\lambda - 2) = 0 \\ &\therefore \lambda_1 = 2 \quad \lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \quad \lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \end{aligned}$$

$\lambda_1 = 2$ のとき, $A_1x_1 = 0$ であり、$x_1 = \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \end{bmatrix}$ とおくと,

$$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ 0 & 2 & -1\\ -2 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$$

$\lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ のとき, $A_2x_2 = 0$ であり、$x_2 = \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \beta_3\\ \end{bmatrix}$ とおくと,

$$\begin{bmatrix} \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} & -1 & 0 \\ 0 & \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} & -1 \\ -2 & -1 & \frac{-3 + \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \beta_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix}$$

$\lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ のとき, $A_3x_3 = 0$ であり、$x_3 = \begin{bmatrix} \gamma_1\\ \gamma_2\\ \gamma_3\\ \end{bmatrix}$ とおくと,

$$\begin{bmatrix} \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} & -1 & 0\\ 0 & \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} & -1\\ -2 & -1 & \frac{-3 - \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1\\ \gamma_2\\ \gamma_3\\ \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}\\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix}$$

(4)

$$\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}\\ \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\\ \end{bmatrix}$$

(5)

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \\ a_{n-2} \end{bmatrix} &= T^{n-2} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} = AD^{n-2} A^{-1}A \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= A \begin{bmatrix} 2^{n-2} & 0 & 0 \\ 0 & (\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})^{n-2} & 0 \\ 0 & 0 & (\frac{-1-\sqrt{3}i}{2})^{n-2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} & \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \\ 4 & \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} & \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2^{n-1} \\ (\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})^{n-2} \\ (\frac{-1-\sqrt{3}i}{2})^{n-2} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

従って、

$$\begin{aligned} a_n &= 2^{n-2} + \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{n-2} + \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{n-2} \\ &= 2^{n-2} + 2\cos \left(\frac{(n-2)\pi}{3} \right) \end{aligned}$$