九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2019年8月実施 解析学・微積分

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Author

Yu, 祭音Myyura

Description

微分方程式

関数 $y(x)$ の微分方程式

$$(x^4 - 1)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y^2 + 2x^3y - 3x^2$$

について以下の問いに答えよ．

(1) 与えられた微分方程式は， $y_p(x) = ax^3$ の形の特殊解を持つ． $y_p(x)$ を求めよ．ただし $a$ は定数とする．

(2) 特殊解 $y_p(x)$ と関数 $u(x)$ を用いて $y = y_p + \frac{1}{u}$ とおき，一般解を求めよ．

複素関数論

図に示す $z$ 平面における $x = 1, y = 1, y = 1 − x$ で囲まれた三角領域 $S$ を考える．以下の変 換で $S$ が写像される $w$ 平面の領域 $S'$ を図示すると共に、 $S'$ を囲む境界の方程式を示せ．ただし， $z = x + iy，w = u + iv$ は複素数， $x, y, u, v$ は実数， $i = \sqrt{-1}$ である．

(1) $w = z + (1 - \sqrt{3}i)$

(2) $w = 2e^{\frac{\pi i}{6}}z + (1 - \sqrt{3}i)$

(3) $w = z^2$

题目描述

本题分为两部分。

一、微分方程

对函数 $y(x)$ 的微分方程

$$(x^4-1)\frac{dy}{dx}=y^2+2x^3y-3x^2$$

回答下列问题：

1. 已知该方程有形如

   $$y_p(x)=ax^3$$

   的特解，其中 $a$ 为常数；求 $y_p(x)$。

2. 使用第 1 问所得特解及辅助函数 $u(x)$，作代换

   $$y=y_p+\frac1u,$$

   求原方程的通解。

二、复函数论

在 $z=x+iy$ 平面上，考虑由三条直线

$$x=1,\qquad y=1,\qquad y=1-x$$

围成的三角区域 $S$。图中的三个顶点为 $(1,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$，三条边正是上述直线在这些顶点之间的线段。令 $w=u+iv$，其中 $z,w$ 为复数，$x,y,u,v$ 为实数，$i=\sqrt{-1}$。对以下每个变换，画出 $S$ 在 $w$ 平面上的像区域 $S'$，并写出围成 $S'$ 的每一条边界曲线的方程及相应参数范围：

1. $w=z+(1-\sqrt3i)$ ；
2. $w=2e^{\pi i/6}z+(1-\sqrt3i)$ ；
3. $w=z^2$ 。

Kai

微分方程式

(1)

$$(x^4 - 1)3ax^2 = a^2x^6 + 2x^3ax^3 - 3x^2 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow y_p(x) = x^3$$

(2)

$$y = x^3 + \frac{1}{u}$$

$$(x^4 - 1)u' + 4x^3u = -1$$

$$(x^4 - 1) \neq 0 \text{ のとき, } u'+ \frac{4x^3}{x^4 - 1}u = \frac{1}{1 - x^4}$$

$$P(x) = \frac{4x^3}{x^4 - 1} \quad Q(x) = \frac{1}{1 - x^4}$$

$$u = e^{-\int P(x)\text{d}x}\big(\int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x + C\big) = \frac{C - x}{x^4 - 1}$$

$x^4\ne1$ かつ $x\ne C$ の区間では

$$y = x^3 + \frac{x^4 - 1}{C - x}$$

を得る。また、特殊解 $y=x^3$ も解である。

複素関数論

(1)

$$w = z + (1 - \sqrt{3}i) = (1 + x) + (y - \sqrt{3})i$$

$$u = 1 + x \quad v = y - \sqrt{3}$$

$$\begin{aligned} x = 1,y = t(0 \le t \le 1) &\text{ とおくと, } u = 2,v = t - \sqrt{3} \\ u = 2,\qquad -\sqrt{3} &\le v \le 1 - \sqrt{3} \\ x = t(0 \le t \le 1),y = 1 &\text{ とおくと, }u = 1 + t ,v = 1 - \sqrt{3} \\ v = 1 - \sqrt{3} &(1 \le u \le 2) \\ x = t(0 \le t \le 1),y = 1 - t &\text{ とおくと, }u = 1 + t,\ v = 1 - t - \sqrt{3} \\ v = -u + 2 - &\sqrt{3}\qquad(1 \le u \le 2) \end{aligned}$$

(2)

$$w = 2e^{\frac{\pi i}{6}}z + (1 - \sqrt{3}i) = (\sqrt{3} + i)(x + iy) + (1 - \sqrt{3}i) = (\sqrt{3}x - y + 1) + (\sqrt{3}y + x -\sqrt{3})i$$

$$u = \sqrt{3}x - y + 1 \quad v = \sqrt{3}y + x - \sqrt{3}$$

$$x = 1,y = t(0 \le t \le 1) \text{ とおくと, }u = \sqrt{3} + 1 - t,v = \sqrt{3}t + 1 - \sqrt{3}$$

$$v = 4 - \sqrt{3}u,\qquad(\sqrt{3} \le u \le 1 + \sqrt{3})$$

$$x = t(0 \le t \le 1),y = 1 \text{ とおくと, } u = \sqrt{3}t,v = t$$

$$u = \sqrt{3}v,\qquad(0 \le v \le 1)$$

$$x = t(0 \le t \le 1),y = 1 - t \text{ とおくと, } u = (1 + \sqrt{3})t,v = (1 - \sqrt{3})t$$

$$v = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}u,\qquad(0 \le u \le 1 + \sqrt{3})$$

(3)

$$w = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i \cdot 2xy$$

$$u = x^2 - y^2, \ v = 2xy$$

$$x = 1,y = t(0 \le t \le 1) \text{ とおくと, } u = 1 - t^2,v = 2t$$

$$u = 1 - \frac{v^2}{4},\qquad(0 \le v \le 2)$$

$$x = t(0 \le t \le 1),y = 1 \text{ とおくと, } u = t^2 - 1,v = 2t$$

$$u = \frac{v^2}{4} - 1,\qquad(0 \le v \le 2)$$

$$x = t(0 \le t \le 1),y = 1 - t \text{ とおくと, } u = 2t - 1,v = 2t - 2t^2$$

$$v = \frac{1}{2} - \frac{u^2}{2},\qquad(-1 \le u \le 1)$$