九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2019年8月実施 解析学・微積分

标签：

• Kyushu-University
• Riccati-Equation
• Conformal-Mapping

Author

Yu

Description

微分方程式

関数 $y(x)$ の微分方程式

$$(x^4 - 1)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y^2 + 2x^3y - 3x^2$$

について以下の問いに答えよ．

(1) 与えられた微分方程式は，$y_p(x) = ax^3$ の形の特殊解を持つ．$y_p(x)$ を求めよ．ただし $a$ は定数とする．

(2) 特殊解 $y_p(x)$ と関数 $u(x)$ を用いて $y = y_p + \frac{1}{u}$ とおき，一般解を求めよ．

複素関数論

図に示す $z$ 平面における $x = 1, y = 1, y = 1 − x$ で囲まれた三角領域 $S$ を考える．以下の変 換で $S$ が写像される $w$ 平面の領域 $S'$ を図示すると共に、 $S'$ を囲む境界の方程式を示せ．ただし，$z = x + iy，w = u + iv$ は複素数，$x, y, u, v$ は実数，$i = \sqrt{-1}$ である．

(1) $w = z + (1 - \sqrt{3}i)$

(2) $w = 2e^{\frac{\pi i}{6}}z + (1 - \sqrt{3}i)$

(3) $w = z^2$

题目描述

本题包括两部分。

微分方程：对

$$(x^4-1)\frac{dy}{dx}=y^2+2x^3y-3x^2$$

回答：

1. 已知它具有 $y_p(x)=ax^3$ 形式的特解（$a$ 为常数），求该特解。
2. 利用 $y=y_p+1/u(x)$ 的代换求通解。

复函数论：在 $z=x+iy$ 平面上，三角形区域 $S$ 由直线 $x=1$、$y=1$、$y=1-x$ 围成，如上图所示。对以下各映射，分别画出 $S$ 在 $w=u+iv$ 平面中的像区域 $S'$，并写出围成 $S'$ 的各边界方程；其中 $x,y,u,v$ 均为实数，$i=\sqrt{-1}$。

1. $w=z+(1-\sqrt3i)$；
2. $w=2e^{\pi i/6}z+(1-\sqrt3i)$；
3. $w=z^2$。

考点

• Riccati 方程：先确定幂函数形式的特解，再用 $y=y_p+1/u$ 将非线性方程化为一阶线性方程。
• 复平面几何变换：分析平移、旋转和缩放对三角形边界及顶点的作用。
• 共形映射与非线性像：对平方映射逐条参数化原区域边界，求像曲线方程并判断围成的区域。

Kai

微分方程式

(1)

$$(x^4 - 1)3ax^2 = a^2x^6 + 2x^3ax^3 - 3x^2 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow y_p(x) = x^3$$

(2)

$$y = x^3 + \frac{1}{u}$$

$$(x^4 - 1)u' + 4x^3u = -1$$

$$(x^4 - 1) \neq 0 \text{ のとき, } u'+ \frac{4x^3}{x^4 - 1}u = \frac{1}{1 - x^4}$$

$$P(x) = \frac{4x^3}{x^4 - 1} \quad Q(x) = \frac{1}{1 - x^4}$$

$$u = e^{-\int P(x)\text{d}x}\big(\int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x + C\big) = \frac{C - x}{x^4 - 1}$$

$$y = x^3 + \frac{x^4 - 1}{C - x}$$

$$(x^4 - 1) = 0\text{ のとき, 上式より }, y = x^3 =y_p,\text{ 微分方程式も満たす }$$

$$\therefore y = x^3 + \frac{x^4 - 1}{C - x}$$

複素関数論

(1)

$$w = z + (1 - \sqrt{3}i) = (1 + x) + (y - \sqrt{3})i$$

$$u = 1 + x \quad v = y - \sqrt{3}$$

$$\begin{aligned} x = 1,y = t(0 \le t \le 1) &\text{ とおくと, } u = 2,v = t - \sqrt{3} \\ u = 2(-\sqrt{3} &\le v \le 1 - \sqrt{3}) \\ x = t(0 \le t \le 1),y = 1 &\text{ とおくと, }u = 1 + t ,v = 1 - \sqrt{3} \\ v = 1 - \sqrt{3} &(1 \le u \le 2) \\ x = t(0 \le t \le 1),y = 1 - t &\text{ とおくと, }u = 1 + t.v = 1 - t - \sqrt{3} \\ v = -u + 2 - &\sqrt{3}(1 \le u \le 2) \end{aligned}$$

(2)

$$w = 2e^{\frac{\pi i}{6}}z + (1 - \sqrt{3}i) = (\sqrt{3} + i)(x + iy) + (1 - \sqrt{3}i) = (\sqrt{3}x - y + 1) + (\sqrt{3}y + x -\sqrt{3})i$$

$$u = \sqrt{3}x - y + 1 \quad v = \sqrt{3}y + x - \sqrt{3}$$

$$x = 1,y = t(0 \le t \le 1) \text{ とおくと, }u = \sqrt{3} + 1 - t,v = \sqrt{3}t + 1 - \sqrt{3}$$

$$v = 4 - \sqrt{3}u(\sqrt{3} \le u \le 1 + \sqrt{3})$$

$$x = t(0 \le t \le 1),y = 1 \text{ とおくと, } u = \sqrt{3}t,v = t$$

$$u = \sqrt{3}v(0 \le v \le 1)$$

$$x = t(0 \le t \le 1),y = 1 - t \text{ とおくと, } u = (1 + \sqrt{3})t,v = (1 - \sqrt{3})t$$

$$v = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}u(0 \le u \le 1 + \sqrt{3})$$

(3)

$$w = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 - i \cdot 2xy$$

$$u = x^2 - y^2, \ v = 2xy$$

$$x = 1,y = t(0 \le t \le 1) \text{ とおくと, } u = 1 - t^2,v = 2t$$

$$u = 1 - \frac{v^2}{4}(0 \le v \le 2)$$

$$x = t(0 \le t \le 1),y = 1 \text{ とおくと, } u = t^2 - 1,v = 2t$$

$$u = \frac{v^2}{4} - 1(0 \le v \le 2)$$

$$x = t(0 \le t \le 1),y = 1 - t \text{ とおくと, } u = 2t - 1,v = 2t - 2t^2$$

$$v = \frac{1}{2} - \frac{u^2}{2}(-1 \le u \le 1)$$