九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年8月実施 ベクトル解析

标签：

• Kyushu-University
• Gradient-Divergence-and-Curl
• Directional-Derivative
• Surface-Integral

Author

Miyake

Description

直交座標系において, $x, y, z$ 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ とする．次の各問に答えよ．

(1) スカラー場 $\phi$ を $\phi = e^{xz} \sin y + e^{x} \cos y$. ベクトル場 $\boldsymbol{A}$ を $\boldsymbol{A} = (2x - z) \boldsymbol{i} - 2 \boldsymbol{j} + 2\boldsymbol{k}$ で定める．点 $(1, 0, 1)$ における $\phi$ の勾配の $\boldsymbol{A}$ 方向成分を求めよ．

(2) ベクトル場 $\boldsymbol{A} = z\boldsymbol{i} -3\boldsymbol{j} +4xy\boldsymbol{k}$ について，次の面 $S$ に対する $\boldsymbol{A}$ の面積分を計算せよ．

• $S: 6x + 3y + z = 3, \ \ \ \ (x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0)$

题目描述

在直角坐标系中，$\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ 分别为 $x,y,z$ 轴方向的单位向量。

1. 给定标量场
   $$\phi=e^{xz}\sin y+e^x\cos y$$
   和向量场
   $$\boldsymbol A=(2x-z)\boldsymbol i-2\boldsymbol j+2\boldsymbol k,$$
   求点 $(1,0,1)$ 处 $\phi$ 的梯度在 $\boldsymbol A$ 方向上的分量。
2. 对向量场
   $$\boldsymbol A=z\boldsymbol i-3\boldsymbol j+4xy\boldsymbol k,$$
   计算其通过第一卦限平面片
   $$S:\ 6x+3y+z=3,\qquad x,y,z\ge0$$
   的曲面积分。

考点

• 梯度与方向导数：求指定点的梯度和向量场值，经单位化后计算沿该方向的分量。
• 向量曲面积分：将第一卦限平面片投影到坐标平面，确定有向面积元并计算通量。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{grad} \phi = \left(z e^{xz} \sin y + e^x \cos y \right) \boldsymbol{i} + \left(e^{xz} \cos y - e^x \sin y \right) \boldsymbol{j} + x e^{xz} \sin y \boldsymbol{k} \end{aligned}$$

であり、点 $(1,0,1)$ において、

$$\begin{aligned} \mathrm{grad} \phi &= e \boldsymbol{i} + e \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{A} &= \boldsymbol{i} - 2 \boldsymbol{j} + 2 \boldsymbol{k} \\ \left| \boldsymbol{A} \right| &= 3 \end{aligned}$$

なので、点 $(1,0,1)$ における $\phi$ の勾配の $\boldsymbol{A}$ 方向成分は

$$\begin{aligned} \mathrm{grad} \phi \cdot \frac{\boldsymbol{A}}{| \boldsymbol{A} |} &= - \frac{e}{3} \end{aligned}$$

である。

(2)

$S$ 上の点の位置ベクトルは $\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + (-6x-3y+3) \boldsymbol{k}$ と書け、このとき、

$$\begin{aligned} \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} &= \boldsymbol{i} -6 \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} &= \boldsymbol{j} -3 \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} &= 6 \boldsymbol{i} + 3 \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k} \end{aligned}$$

である。 また、 $S$ 上で $\boldsymbol{A} = (-6x-3y+3) \boldsymbol{i} - 3 \boldsymbol{j} + 4xy \boldsymbol{k}$ なので、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{A} \cdot \left( \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} \right) &= 4xy-36x-18y+9 \end{aligned}$$

である。 点 $(x, y, -6x-3y+3)$ が $S$ にあるのは、 $0 \leq x \leq 1/2$ かつ $0 \leq y \leq -2x+1$ のときであるから、 求める面積分は

$$\begin{aligned} &\int_0^\frac{1}{2} dx \int_0^{-2x+1} dy \left( 4xy-36x-18y+9 \right) \\ &= 4 \int_0^\frac{1}{2} dx \left( 2x^3+7x^2-4x \right) \\ &= - \frac{17}{24} \end{aligned}$$

である。