九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年8月実施 確率・統計

标签：

• Kyushu-University
• Joint-Distribution
• Conditional-Density

Author

Miyake

Description

$\Omega = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 \}$ とする. 連続確率変数の対 $(X, Y)$ の同時密度関数は

$$f(x, y) = \frac{1}{C} (e^{-x} + e^{-y}) \ \ \ (x, y) \in \Omega$$

で与えられるものとする. ただし $C > 0$ は正規化定数である. 以下の各問に答えよ.

(1) $C$ の値を求めよ.

(2) $X$ と $Y$ は独立か否か, 理由と共に答えよ.

(3) $Y = 0$ の条件の下での $X$ の期待値を求めよ.

题目描述

令

$$\Omega=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid0\le x\le1,\ 0\le y\le1\}.$$

连续随机变量对 $(X,Y)$ 的联合密度为

$$f(x,y)=\frac1C(e^{-x}+e^{-y}),\qquad(x,y)\in\Omega,$$

其中 $C>0$ 是归一化常数。

1. 求 $C$。
2. 判断 $X,Y$ 是否独立，并说明理由。
3. 求条件 $Y=0$ 下 $X$ 的期望。

考点

• 联合概率密度与归一化：在单位正方形上积分联合密度以确定常数 $C$。
• 随机变量独立性：比较联合密度与边缘密度乘积，判断 $X,Y$ 是否独立。
• 条件密度：由联合密度在 $Y=0$ 的截面归一化得到 $X\mid Y=0$ 的密度并计算条件期望。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} 1 &= \iint_\Omega f(x,y) dx dy \\ &= \frac{1}{C} \left\{ \int_0^1 e^{-x} dx \int_0^1 dy + \int_0^1 dx \int_0^1 e^{-y} dy \right\} \\ &= \frac{1}{C} \frac{2(e-1)}{e} \\ \therefore \ \ C &= \frac{2(e-1)}{e} \end{aligned}$$

(2)

$X,Y$ の周辺確率密度関数をそれぞれ $f_X(x), f_Y(y)$ とすると、

$$\begin{aligned} f_X(x) &= \int_0^1 f(x,y) dy \\ &= \frac{1}{C} \int_0^1 (e^{-x} + e^{-y}) dy \\ &= \frac{e}{2(e-1)} e^{-x} + \frac{1}{2} \\ f_Y(y) &= \frac{e}{2(e-1)} e^{-y} + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} f(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y) \end{aligned}$$

であるから、$X$ と $Y$ は独立ではない。

(3)

$Y=0$ の条件の下での $X$ の確率密度関数を $f_{X \mid Y=0} (x)$ とすると、

$$\begin{aligned} f_{X \mid Y=0} (x) &= \frac{f(x,0)}{f_Y(0)} \\ &= \frac{e(e^{-x} + 1)}{2e-1} \end{aligned}$$

であるから、求める期待値は、

$$\begin{aligned} E(X \mid Y=0) &= \int_0^1 x f_{X \mid Y=0} (x) dx \\ &= \frac{e}{2e-1} \int_0^1 x (e^{-x} + 1) dx \\ &= \frac{3e-4}{2(2e-1)} \end{aligned}$$

である。