九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年8月実施 線形代数

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Yu

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行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & -3 & -3 \\ 6 & 7 & 6 \\ -6 & -6 & -5 \end{pmatrix}$ について, 次の各問に答えよ。

(1) $Ax = -2x$ なる零でないベクトル $x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}$ を $1$ つ求めよ。

(2) $Ay = dy$ なる数 $d \neq -2$ と零でないベクトル $y = \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix}$ を $1$ つ求めよ。

(3) $AP = PD$ を満たす正則行列 $P$ と対角行列 $D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0\\0 & d_2 & 0\\0 & 0 & x_3 \end{pmatrix}$ を $1$ つ求めよ。

(4) $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めよ。

(5) $A^{10}$を求めよ。

Kai

(1)

$$Ax = -2x \Rightarrow Ax + 2Ex = 0 \Rightarrow (A + 2E)x = 0$$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & -3 & -3\\ 6 & 9 & 6\\ -6 & -6 & -3 \end{bmatrix} x = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} x = 0 \Rightarrow x = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

(2)

$$|T| = |A - \lambda E| = \begin{vmatrix} - 2- \lambda & -3 & -3 \\ 6 & 7 - \lambda & 6 \\ -6 & -6 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2) = 0$$

$$\lambda_1 - \lambda_2 = 1 \text{ のとき, } T_1x_1 = 0,\text{ そして, } x_1 = \begin{pmatrix} \alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3 \end{pmatrix} \text{ とおくと,}$$

$$\begin{bmatrix} -3 & -3 & -3\\ 6 & 6 & 6\\ -6 & -6 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3 \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3 \end{bmatrix} = 0$$

$$x_1 = s \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$d = 1 \quad \text{and} \quad y = \begin{bmatrix} -2\\1\\1 \end{bmatrix}$$

(3)

$$AP = PD \Rightarrow P^{-1}AP = D$$

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} D = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

(4)

$$\left[ {\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ \end{matrix}& \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \end{array}} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{matrix}& \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -2 & -1\\ \end{matrix} \end{array}} \right] \Rightarrow P^{-1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -2 & -1\\ \end{bmatrix}$$

(5)

$$\begin{aligned} A^{10} &= (PDP^{-1})^{10}\\ &= PD^{10}P^{-1}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1024 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -2 & -1\\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1024 & 1023 & 1023\\ -2046 & -2045 & -2046\\ 2046 & 2046 & 2047\\ \end{bmatrix} \end{aligned}$$