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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年8月実施 線形代数

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Author​

Yu

Description​

行列 A=(−2−3−3676−6−6−5)A = \begin{pmatrix} -2 & -3 & -3 \\ 6 & 7 & 6 \\ -6 & -6 & -5 \end{pmatrix} について, 次の各問に答えよ。

(1) Ax=−2xAx = -2x なる零でないベクトル x=(x1x2x3)x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} を 11 つ求めよ。

(2) Ay=dyAy = dy なる数 d≠−2d \neq -2 と零でないベクトル y=(y1y2y3)y = \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix} を 11 つ求めよ。

(3) AP=PDAP = PD を満たす正則行列 PP と対角行列 D=(d1000d2000x3)D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0\\0 & d_2 & 0\\0 & 0 & x_3 \end{pmatrix} を 11 つ求めよ。

(4) PP の逆行列 P−1P^{-1} を求めよ。

(5) A10A^{10} を求めよ。

题目描述​

给定矩阵

A=(−2−3−3676−6−6−5).A=\begin{pmatrix} -2&-3&-3\\ 6&7&6\\ -6&-6&-5 \end{pmatrix}.

回答下列问题：

  1. 求一个满足

    Ax=−2xAx=-2x

    的非零向量 x=(x1,x2,x3)Tx=(x_1,x_2,x_3)^T。

  2. 求一个数 d≠−2d\ne-2 和一个满足

    Ay=dyAy=dy

    的非零向量 y=(y1,y2,y3)Ty=(y_1,y_2,y_3)^T。

  3. 各求一个可逆矩阵 PP 与对角矩阵

D=(d1000d2000x3)\quad D=\begin{pmatrix} d_1&0&0\\ 0&d_2&0\\ 0&0&x_3 \end{pmatrix}

使 AP=PDAP=PD。原始题面把 DD 的第三个对角元印作 x3x_3，与第 1 问向量 xx 的第三个分量同名；Kai 实际把三个对角元取为 −2,1,1-2,1,1。现有内容不能唯一判断原题是否本应写作 d3d_3，故此处保留原记号并明确该歧义。 4. 求第 3 问所取矩阵 PP 的逆矩阵 P−1P^{-1}。 5. 求 A10A^{10}。

Kai​

(1)​

Ax=−2x⇒Ax+2Ex=0⇒(A+2E)x=0Ax = -2x \Rightarrow Ax + 2Ex = 0 \Rightarrow (A + 2E)x = 0
⇒[0−3−3696−6−6−3]x=0⇒[210011000]x=0⇒x=[1−22]\Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & -3 & -3\\ 6 & 9 & 6\\ -6 & -6 & -3 \end{bmatrix} x = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} x = 0 \Rightarrow x = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}

(2)​

∣T∣=∣A−λE∣=∣−2−λ−3−367−λ6−6−6−5−λ∣=(λ−1)2(λ+2)=0|T| = |A - \lambda E| = \begin{vmatrix} - 2- \lambda & -3 & -3 \\ 6 & 7 - \lambda & 6 \\ -6 & -6 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2) = 0
λ1−λ2=1 のとき, T1x1=0, そして, x1=(α1α2α3) とおくと,\lambda_1 - \lambda_2 = 1 \text{ のとき, } T_1x_1 = 0,\text{ そして, } x_1 = \begin{pmatrix} \alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3 \end{pmatrix} \text{ とおくと,}
[−3−3−3666−6−6−6][α1α2α3]=0⇒[111000000][α1α2α3]=0\begin{bmatrix} -3 & -3 & -3\\ 6 & 6 & 6\\ -6 & -6 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3 \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3 \end{bmatrix} = 0
x1=s[−110]+t[−101]x_1 = s \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
d=1andy=[−211]d = 1 \quad \text{and} \quad y = \begin{bmatrix} -2\\1\\1 \end{bmatrix}

(3)​

AP=PD⇒P−1AP=DAP = PD \Rightarrow P^{-1}AP = D
P=[1−1−1−210201]D=[−200010001]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} D = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

(4)​

[1−1−1−210201100010001]⇒[100010001111232−2−2−1]⇒P−1[111232−2−2−1]\left[ {\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ \end{matrix}& \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \end{array}} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{matrix}& \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -2 & -1\\ \end{matrix} \end{array}} \right] \Rightarrow P^{-1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -2 & -1\\ \end{bmatrix}

(5)​

A10=(PDP−1)10=PD10P−1=[1−1−1−210201][102400010001][111232−2−2−1]=[102410231023−2046−2045−2046204620462047]\begin{aligned} A^{10} &= (PDP^{-1})^{10}\\ &= PD^{10}P^{-1}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1024 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -2 & -1\\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1024 & 1023 & 1023\\ -2046 & -2045 & -2046\\ 2046 & 2046 & 2047\\ \end{bmatrix} \end{aligned}
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