跳到主要内容

九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年8月実施 複素関数論

标签：

Author​

Zero, 祭音Myyura

Description​

解析関数 f(z)=u+ivf(z) = u + iv を考える．ただし， z=x+iyz = x + iy は複素数， xx と yy は実数， uu と vv は実数値関数， i=−1i = \sqrt{-1} である．x と y が極形式 x=rcos⁡θx = r\cos\theta と y=rsin⁡θy = r\sin\theta で表されるとき，極形 式のコーシー・リーマンの方程式は以下の式で書けることを示せ．

∂u∂r=1r∂v∂θ,∂v∂r=−1r∂u∂θ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta},\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}

题目描述​

设 f(z)=u+ivf(z)=u+iv 为解析函数，其中

z=x+iy,i=−1,z=x+iy,\qquad i=\sqrt{-1},

x,yx,y 为实变量，u,vu,v 为实值函数。若把 x,yx,y 表示为极坐标

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

证明在 r>0r>0 处，直角坐标下的柯西–黎曼方程等价于

∂u∂r=1r∂v∂θ,∂v∂r=−1r∂u∂θ.\frac{\partial u}{\partial r} =\frac1r\frac{\partial v}{\partial\theta}, \qquad \frac{\partial v}{\partial r} =-\frac1r\frac{\partial u}{\partial\theta}.

Kai​

連鎖律より

ur=uxcos⁡θ+uysin⁡θ,uθ=−ruxsin⁡θ+ruycos⁡θ,vr=vxcos⁡θ+vysin⁡θ,vθ=−rvxsin⁡θ+rvycos⁡θ.\begin{aligned} u_r&=u_x\cos\theta+u_y\sin\theta,\\ u_\theta&=-ru_x\sin\theta+ru_y\cos\theta,\\ v_r&=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta,\\ v_\theta&=-rv_x\sin\theta+rv_y\cos\theta. \end{aligned}

コーシー・リーマンの方程式 ux=vy, uy=−vxu_x=v_y,\ u_y=-v_x を用いると、r>0r>0 で

ur=vycos⁡θ−vxsin⁡θ=1rvθ,vr=−uycos⁡θ+uxsin⁡θ=−1ruθ.\begin{aligned} u_r &=v_y\cos\theta-v_x\sin\theta =\frac1r v_\theta,\\ v_r &=-u_y\cos\theta+u_x\sin\theta =-\frac1r u_\theta. \end{aligned}
本页目录