九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年8月実施 複素関数論 Author Zero, 祭音Myyura
Description
出典：九州大学公式問題 。
解析関数 f ( z ) = u + i v f(z) = u + iv f ( z ) = u + i v z = x + i y z = x + iy z = x + i y x x x y y y u u u v v v i = − 1 i = \sqrt{-1} i = − 1 x = r cos θ x = r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y = r\sin\theta y = r sin θ
∂ u ∂ r = 1 r ∂ v ∂ θ , ∂ v ∂ r = − 1 r ∂ u ∂ θ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta},\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} ∂ r ∂ u = r 1 ∂ θ ∂ v , ∂ r ∂ v = − r 1 ∂ θ ∂ u 题目描述
设 f ( z ) = u + i v f(z)=u+iv f ( z ) = u + i v
z = x + i y , i = − 1 , z=x+iy,\qquad i=\sqrt{-1}, z = x + i y , i = − 1 , x , y x,y x , y u , v u,v u , v x , y x,y x , y
x = r cos θ , y = r sin θ , x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta, x = r cos θ , y = r sin θ , 证明在 r > 0 r>0 r > 0
∂ u ∂ r = 1 r ∂ v ∂ θ , ∂ v ∂ r = − 1 r ∂ u ∂ θ . \frac{\partial u}{\partial r}
=\frac1r\frac{\partial v}{\partial\theta},
\qquad
\frac{\partial v}{\partial r}
=-\frac1r\frac{\partial u}{\partial\theta}. ∂ r ∂ u = r 1 ∂ θ ∂ v , ∂ r ∂ v = − r 1 ∂ θ ∂ u . Kai 連鎖律より
u r = u x cos θ + u y sin θ , u θ = − r u x sin θ + r u y cos θ , v r = v x cos θ + v y sin θ , v θ = − r v x sin θ + r v y cos θ . \begin{aligned}
u_r&=u_x\cos\theta+u_y\sin\theta,\\
u_\theta&=-ru_x\sin\theta+ru_y\cos\theta,\\
v_r&=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta,\\
v_\theta&=-rv_x\sin\theta+rv_y\cos\theta.
\end{aligned} u r u θ v r v θ = u x cos θ + u y sin θ , = − r u x sin θ + r u y cos θ , = v x cos θ + v y sin θ , = − r v x sin θ + r v y cos θ . コーシー・リーマンの方程式 u x = v y , u y = − v x u_x=v_y,\ u_y=-v_x u x = v y , u y = − v x r > 0 r>0 r > 0
u r = v y cos θ − v x sin θ = 1 r v θ , v r = − u y cos θ + u x sin θ = − 1 r u θ . \begin{aligned}
u_r
&=v_y\cos\theta-v_x\sin\theta
=\frac1r v_\theta,\\
v_r
&=-u_y\cos\theta+u_x\sin\theta
=-\frac1r u_\theta.
\end{aligned} u r v r = v y cos θ − v x sin θ = r 1 v θ , = − u y cos θ + u x sin θ = − r 1 u θ .