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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年8月実施 複素関数論

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Author​

Zero

Description​

解析関数 f(z)=u+ivf(z) = u + iv を考える．ただし， z=x+iyz = x + iy は複素数， xx と yy は実数， uu と vv は実数値関数， i=−1i = \sqrt{-1} である．x と y が極形式 x=rcos⁡θx = r\cos\theta と y=rsin⁡θy = r\sin\theta で表されるとき，極形 式のコーシー・リーマンの方程式は以下の式で書けることを示せ．

∂u∂r=1r∂v∂θ,∂v∂r=−1r∂u∂θ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta},\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}

题目描述​

设 f(z)=u+ivf(z)=u+iv 为解析函数，其中

z=x+iy,i=−1,z=x+iy,\qquad i=\sqrt{-1},

x,yx,y 为实变量，u,vu,v 为实值函数。若把 x,yx,y 表示为极坐标

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

证明在 r>0r>0 处，直角坐标下的柯西–黎曼方程等价于

∂u∂r=1r∂v∂θ,∂v∂r=−1r∂u∂θ.\frac{\partial u}{\partial r} =\frac1r\frac{\partial v}{\partial\theta}, \qquad \frac{\partial v}{\partial r} =-\frac1r\frac{\partial u}{\partial\theta}.

Kai​

コーシー・リーマンの方程式は以下の式表せる。

{∂u∂x=∂v∂y(1◯)∂u∂y=−∂v∂x(2◯)\left \{ \begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} && \qquad\text{(\textcircled{1})} \\ &\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} && \qquad\text{(\textcircled{2})} \\ \end{aligned} \right.
∂x∂r=cos⁡θ,∂y∂r=sin⁡θ∂x∂θ=−rsin⁡θ,∂y∂θ=rcos⁡θ⇔cos⁡θ=1r∂y∂θ(3◯)\begin{aligned} &\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta ,\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta \notag \\ &\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta, \notag \\ &\frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta \Leftrightarrow \cos\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial y}{\partial \theta} \tag{\textcircled{3}} \end{aligned}

① の両辺に ∂x∂r=cos⁡θ\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta をかける

∂u∂x⋅∂x∂r=∂v∂y⋅cos⁡θ∂u∂r=∂v∂y⋅cos⁡θ∂u∂r=∂v∂y⋅1r∂v∂θ∴∂u∂r=1r⋅∂v∂θ\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \cos\theta \\ &\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \cos\theta \\ &\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \\ \therefore &\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial v}{\partial \theta} \end{aligned}

② の両辺に −∂x∂r=−cos⁡θ-\frac{\partial x}{\partial r} = -\cos\theta をかける

∂u∂y⋅(−cos⁡θ)=∂v∂x⋅∂x∂r−∂u∂y⋅cos⁡θ=∂v∂r∂v∂r=−∂u∂y⋅cos⁡θ∂v∂r=−∂u∂y⋅1r∂u∂θ∴∂v∂r=−1r⋅∂u∂θ\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial y} \cdot (-\cos\theta) = \frac{\partial v}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} \\ &-\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \cos\theta = \frac{\partial v}{\partial r} \\ &\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \cos\theta \\ &\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\ \therefore &\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial u}{\partial \theta} \end{aligned}
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