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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2017年8月実施 ベクトル解析

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Author​

Zero, 祭音Myyura

Description​

出典：九州大学公式問題。 直交座標系において，x,y,zx, y, z 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i,j,k\boldsymbol{i, j, k} とする．SS を以下の面とし，CC をその外周とするとき，ベクトル場 A=yi−2xj+xzk\boldsymbol{A} = y\boldsymbol{i} − 2x\boldsymbol{j} + xz\boldsymbol{k} に対し，線積分 ∮CA⋅dr\oint_C \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r}，および面積分 ∫S(∇×A)⋅dS\int_S(\nabla \times \boldsymbol{A}) \cdot d\boldsymbol{S} をそれぞれ計算せよ. なお，線積分は zz 軸正方向からみて反時計回りに沿って行うものとし，SS の法線ベクトルの zz 成分は非負とする．

S:x2+y2+z2=1(z≥0)S : x^2 + y^2 + z^2 = 1(z \ge 0)

题目描述​

在直角坐标系中，i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k 分别为 x,y,zx,y,z 轴正方向的单位向量。令

S: x2+y2+z2=1,z≥0S:\ x^2+y^2+z^2=1,\qquad z\ge0

为上半球面，CC 为其边界。对向量场

A=yi−2xj+xzk,\boldsymbol A=y\boldsymbol i-2x\boldsymbol j+xz\boldsymbol k,

分别计算线积分

∮CA⋅dr\oint_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r

和曲面积分

∫S(∇×A)⋅dS.\int_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot d\boldsymbol S.

从 zz 轴正方向观察时，CC 的积分方向为逆时针；SS 的法向量取 zz 分量非负的方向。

Kai​

線路 CC はパラメータ θ\theta を用して、C:r=cos⁡θi+sin⁡θjC:\boldsymbol{r} = \cos\theta i + \sin\theta j と表せる

drdθ=−sin⁡θi+cos⁡θj=(−sin⁡θ,cos⁡θ,0)\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta} = -\sin\theta i + \cos\theta j = (-\sin\theta,\cos\theta,0)
∮CA⋅dr=∫02πA⋅drdθdθ=∫02π[sin⁡θ⋅(−sin⁡θ)−2cos⁡θ⋅cos⁡θ]dθ=∫02π(−sin⁡2θ−2cos⁡2θ)dθ=∫02π(−1−cos⁡2θ)dθ=∫02π(−32−12cos⁡2θ)dθ=[−32θ−14sin⁡2θ]02π=−3π\begin{aligned} \oint_C \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{r} &= \int_0^{2\pi}\boldsymbol{A} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\bigg[\sin\theta \cdot (-\sin\theta) - 2\cos\theta \cdot \cos\theta\bigg]d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}(-\sin^2\theta - 2\cos^2\theta)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}(-1 - \cos^2\theta)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left(-\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\cos2\theta\right)d\theta \\ &= \bigg[-\frac{3}{2}\theta - \frac{1}{4}\sin2\theta\bigg]_0^{2\pi} \\ &= -3\pi \end{aligned}

面積分を求める、S:x2+y2+z2=1(z≥0)S : x^2 + y^2 + z^2 = 1(z \ge 0) より、球座標表示でパラメータ表示する、

{x=rsin⁡θcos⁡ϕy=rsin⁡θsin⁡ϕ(0≤θ≤π2),(0≤ϕ≤2π)z=rcos⁡θ\left \{ \begin{aligned} &x = r\sin\theta\cos\phi \\ &y = r\sin\theta\sin\phi (0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}),(0 \le \phi \le 2\pi) \\ &z = r\cos\theta \end{aligned} \right.

面 SS をパラメータ表示したベクトルを r\boldsymbol{r} とおく

r=(sin⁡θcos⁡ϕ,sin⁡θsin⁡ϕ,cos⁡θ)rθ=(cos⁡θcos⁡ϕ,cos⁡θsin⁡ϕ,−sin⁡θ)rϕ=(−sin⁡θsin⁡ϕ,sin⁡θcos⁡ϕ,0)\begin{aligned} &\boldsymbol{r} = (\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta) \\ &\boldsymbol{r}_{\theta} = (\cos\theta\cos\phi,\cos\theta\sin\phi,-\sin\theta) \\ &\boldsymbol{r}_{\phi} = (-\sin\theta\sin\phi,\sin\theta\cos\phi,0) \end{aligned}
rθ×rϕ=∣ijkcos⁡θcos⁡ϕcos⁡θsin⁡ϕ−sin⁡θ−sin⁡θsin⁡ϕsin⁡θcos⁡ϕ0∣=(sin⁡2θcos⁡ϕ,sin⁡2θsin⁡ϕ,cos⁡θsin⁡θ)\boldsymbol{r}_{\theta} \times \boldsymbol{r}_{\phi} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\theta\sin\phi & \sin\theta\cos\phi & 0 \end{vmatrix} = (\sin^2\theta\cos\phi,\sin^2\theta\sin\phi,\cos\theta\sin\theta)
∇×A=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zy−2xxz∣=(0,−z,−3)=(0,−cos⁡θ,−3)\begin{aligned} \nabla \times \boldsymbol{A} &= \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y & -2x & xz \end{vmatrix} \\ &= (0, -z,-3) \\ &= (0,-\cos\theta,-3) \end{aligned}
∫S(∇×A)⋅dS=∫02π∫0π/2(−cos⁡θsin⁡2θsin⁡ϕ−3cos⁡θsin⁡θ)dθ dϕ=−6π∫0π/2cos⁡θsin⁡θ dθ=−3π.\begin{aligned} \int_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot d\boldsymbol S &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \left(-\cos\theta\sin^2\theta\sin\phi -3\cos\theta\sin\theta\right)d\theta\,d\phi\\ &=-6\pi\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\\ &=-3\pi. \end{aligned}
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