九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2017年8月実施 線形代数

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Zero

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正方行列 が交代的であるとは， を満たすことである．ここで， は の転置を表す．以下の各問に答えよ．

(1) 任意の 次正方行列 と整数 に対し，ベクトルの組 が存在し， を満たすことを示せ．ただし， は の 成分である．

(2) 次正方行列 が交代的であるための必要十分条件は，

が成り立つことであることを示せ．

(3) 交代的な行列 が固有値 を持つとき， は も固有値として持つことを示せ．ヒント：任意の正方行列 の行列式 について， が成り立つ．

Kai

(1)

かつ のとき、 となる。

(2)

充分性:

となると、 より、 となり, が交代的である。

必要性:

が交代的であるとき、 より、

以上から、必要十分条件である。

(3)

固有値として持つから、

より、

は交代的であり、

よって、 も固有値として持つ。