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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2017年8月実施 線形代数

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Zero

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正方行列 AA が交代的であるとは，A⊤=−AA^{\top} = -A を満たすことである．ここで，A⊤A^{\top} は AA の転置を表す．以下の各問に答えよ．

(1) 任意の nn 次正方行列 A∈Rn×nA \in \boldsymbol{R}^{n \times n} と整数 i,j(1≤i,j≤n)i,j(1 \le i,j \le n) に対し，ベクトルの組 x,y\boldsymbol{x,y} ∈Rn\in \boldsymbol{R}^n が存在し，x⊤Ay=Aij\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} = A_{ij} を満たすことを示せ．ただし，AijA_{ij} は AA の (i,j)(i, j) 成分である．

(2) nn 次正方行列 A∈Rn×nA \in \boldsymbol{R}^{n \times n} が交代的であるための必要十分条件は，

y⊤Ax=−x⊤Ay(∀x,y∈Rn)\boldsymbol{y}^{\top }A\boldsymbol{x} = -\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y}(\forall \boldsymbol{x,y} \in \boldsymbol{R}^n)

が成り立つことであることを示せ．

(3) 交代的な行列 AA が固有値 λ\lambda を持つとき，AA は −λ-\lambda も固有値として持つことを示せ．ヒント：任意の正方行列 XX の行列式 ∣X∣|X| について，∣X∣=∣X⊤∣|X| = |X^{\top}| が成り立つ．

题目描述​

称方阵 AA 为反对称矩阵，当且仅当 A⊤=−AA^\top=-A；其中 A⊤A^\top 表示转置。回答下列问题：

  1. 对任意 A∈Rn×nA\in\mathbb R^{n\times n} 以及 1≤i,j≤n1\le i,j\le n，证明存在 x,y∈Rn\boldsymbol x,\boldsymbol y\in\mathbb R^n，使
    x⊤Ay=Aij,\boldsymbol x^\top A\boldsymbol y=A_{ij},
    其中 AijA_{ij} 是 AA 的第 (i,j)(i,j) 个元素。
  2. 证明 A∈Rn×nA\in\mathbb R^{n\times n} 为反对称矩阵的充要条件是
    y⊤Ax=−x⊤Ay(∀ x,y∈Rn).\boldsymbol y^\top A\boldsymbol x =-\boldsymbol x^\top A\boldsymbol y \qquad(\forall\,\boldsymbol x,\boldsymbol y\in\mathbb R^n).
  3. 证明若反对称矩阵 AA 具有特征值 λ\lambda，则 −λ-\lambda 也是其特征值。可使用任意方阵 XX 满足 ∣X∣=∣X⊤∣|X|=|X^\top|。

考点​

  • 反对称矩阵：用标准基向量抽取矩阵元素，并证明双线性型恒等式与 A⊤=−AA^\top=-A 等价。
  • 特征值成对性质：结合特征多项式、转置行列式不变性和反对称条件，证明特征值关于零成对出现。

Kai​

(1)​

A=(A11⋯A1n⋮⋱⋮An1⋯Ann)x=(x1⋮xn)y=(y1⋮yn)A = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & \cdots &A_{nn} \\ \end{pmatrix} \qquad \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \qquad \boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix}
x⊤=(x1⋯xn)\boldsymbol{x}^{\top} = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix}
x⊤Ay=(x1⋯xn)(A11⋯A1n⋮⋱⋮An1⋯Ann)(y1⋮yn)\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & \cdots &A_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix}
x⊤Ay=(x1A11+⋯+xnAn1,⋯ ,x1An+xnAnn)(y1⋮yn)=x1y1A11+⋯+xny1An1+⋯+x1ynA1n+⋯+xnynAnn=∑i=1n∑j=1nxiyjAij\begin{aligned} \boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} &= \begin{pmatrix} x_1A_{11} + \cdots + x_nA_{n1},\cdots,x_1A_n + x_nA_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} \\ &= x_1y_1A_{11} + \cdots + x_ny_1A_{n1} + \cdots + x_1y_nA_{1n} + \cdots + x_ny_nA_{nn} \\ &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n x_i y_j A_{ij} \end{aligned}

xi=yj=1x_i = y_j = 1 かつ xk=yl=0 (i≠k,j≠l,1≤k,l≤n)x_k = y_l = 0 \ (i \neq k, j \neq l, 1 \le k , l \le n) のとき、x⊤Ay=Aij\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} = A_{ij} となる。

(2)​

充分性:

−x⊤Ay=∑i=1n∑j=1nxiyiAijy⊤Ax=∑i=1n∑j=1nyjxiAji\begin{aligned} -\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n x_i y_i A_{ij} \\ \boldsymbol{y}^{\top}A\boldsymbol{x} &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n y_j x_i A_{ji} \end{aligned}

y⊤Ax=−x⊤Ay\boldsymbol{y}^{\top}A\boldsymbol{x} = -\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} となると、−Aij=Aji-A_{ij} = A_{ji} より、 A⊤=−AA^{\top} = -A となり,A∈Rn×nA \in \boldsymbol{R}^{n \times n} が交代的である。

必要性:

A∈Rn×nA \in \boldsymbol{R}^{n \times n} が交代的であるとき、−Aij=Aji-A_{ij} = A_{ji} より、

y⊤Ax=∑i=1n∑j=1nyjxiAji=−∑i=1n∑j=1xiyjAij=−x⊤Ay\begin{aligned} \boldsymbol{y}^{\top}A\boldsymbol{x} &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n y_jx_i A_{ji} \\ &= -\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1} x_iy_j A_{ij} \\ &= -\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} \end{aligned}

以上から、必要十分条件である。

(3)​

固有値として持つから、

Ax=λxA\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}
∣A−λE∣=0|A - \lambda E| = 0

∣x∣=∣x⊤∣|\boldsymbol{x}| = |\boldsymbol{x}^{\top}| より、

∣(A−λE)⊤∣=0|(A - \lambda E)^{\top}| = 0
∣A⊤−λE∣=0⇔A⊤x=λx|A^{\top} - \lambda E| = 0 \Leftrightarrow A^{\top}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}

AA は交代的であり、A⊤=−AA^{\top} = -A

∴−Ax=λx\therefore -A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}
Ax=−λxA\boldsymbol{x} = -\lambda \boldsymbol{x}

よって、−λ-\lambda も固有値として持つ。

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