九州大学システム情報科学府情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2017年8月実施微分方程式

标签：

Author

Zero, 祭音Myyura

出典：九州大学公式問題。次の微分方程式の一般解を求めよ．なお， $y'$ は関数 $y(x)$ の $x$ に関する $1$ 階導関数を表している．

(1) $y' = \frac{9(y^2 + 1)}{x^3 - 3x + 2}$

(2) $y'' - 3y' + 2y = e^{2x}$

求下列微分方程的通解，其中 $y$ 是 $x$ 的函数， $y'$ 表示其一阶导数， $y''$ 表示其二阶导数：

y'=\frac{9(y^2+1)}{x^3-3x+2}.

y''-3y'+2y=e^{2x}.

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{9(y^2 + 1)}{x^3 - 3x + 2} \\ \frac{dy}{y^2 + 1} &= \frac{9}{x^3 - 3x + 2}dx \end{aligned}

両辺を積分すると、

\begin{aligned} &\int\frac{dy}{y^2 + 1} && \qquad\text{(i)}\\ \quad = \quad& \int\frac{9}{x^3 - 3x + 2}dx && \qquad\text{(ii)} \end{aligned}

(\text{i}) = \tan^{-1} y

\int\frac{9}{x^3 - 3x + 2}dx = \int\frac{9}{(x - 1)^2(x + 2)}dx

\begin{aligned} (\text{ii}) &= \int\bigg[\frac{3}{(x - 1)^2} + \frac{-1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}\bigg]dx \\ &= \int 3(x - 1)^{-2}dx - \int \frac{1}{x - 1}dx + \int \frac{1}{x + 2}dx \\ &= -3(x - 1)^{-1} - \log|x - 1| + \log|x + 2| \\ &= -\frac{3}{x - 1} + \log\bigg|\frac{x + 2}{x - 1}\bigg| \end{aligned}

以上から、

\tan^{-1}y = -\frac{3}{x - 1} + \log\bigg|\frac{x + 2}{x - 1}\bigg| + C

y = \tan\bigg[-\frac{3}{x - 1} + \log\bigg|\frac{x + 2}{x - 1}\bigg| + C\bigg]

ただし、解は $x=-2,1$ を含まず、さらに上の $\tan$ の偏角が $\pi/2+k\pi$ （ $k\in\mathbb Z$ ）とならない区間上で考える。

\begin{aligned} y'' - 3y' + 2y = e^{2x} \tag{*} \end{aligned}

$y'' - 3y' + 2y = 0$ について、特性方程式から、

\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0

\lambda = 1,2

$y$ の一般解は

y = Ae^x + Be^{2x}

特殊解を求める。 $y = Cxe^{2x}$ とする。

\begin{aligned} y' &= C(e^{2x} + 2xe^{2x}) \\ &= C(1 + 2x)e^{2x} \\ y'' &= C[2e^{2x} + 2(1 + 2x)e^{2x}] \\ &= C \cdot (4 + 4x)e^{2x} \end{aligned}

$(*)$ に代入

C(4 + 4x) - 3C(1 + 2x) + 2Cx = 1

C = 1

$(*)$ の一般解は

y = Ae^x + Be^{2x} + xe^{2x}