九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2017年8月実施 複素関数論

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• 支割线
• 留数定理
• 用留数计算实积分

Author

Zero, 祭音Myyura

Description

出典：九州大学公式問題。 図に示す曲線 $C$ に沿った複素積分 $\oint_C\frac{(\ln z)^2}{z^2 + 1}dz$ を考える．ただし， $R > 1,\varepsilon < 1$ とする．次 の各問に答えよ．

(1) $\oint_C\frac{(\ln z)^2}{z^2 + 1}dz$ の値を求めよ．

(2) $\oint_C\frac{(\ln z)^2}{z^2 + 1}dz$ の値を用いて， $\int_{0}^{\infty}\frac{(\ln x)^2}{x^2 + 1}dx = \frac{\pi^3}{8}$ を示せ．

题目描述

设外半径 $R>1$，内半径 $\varepsilon$ 满足 $0<\varepsilon<1$。原图中的闭路 $C$ 是上半平面半环域的正向边界；其走向为：

$$\begin{aligned} C_R&:\ z=Re^{i\theta},&&0\le\theta\le\pi,\\ C_1&:\ z=x,&&-R\le x\le-\varepsilon,\\ C_\varepsilon&:\ z=\varepsilon e^{i\theta},&&\pi\ge\theta\ge0,\\ C_2&:\ z=x,&&\varepsilon\le x\le R, \end{aligned}$$

并取上半平面中的对数分支

$$\ln z=\ln|z|+i\arg z,\qquad 0\le\arg z\le\pi.$$

沿该闭路考虑复积分

$$\oint_C\frac{(\ln z)^2}{z^2+1}\,dz.$$

回答下列问题：

1. 求该闭路积分的值。

2. 利用第 1 问所得闭路积分，并令 $R\to\infty$、$\varepsilon\to0^+$，证明

   $$\int_0^\infty\frac{(\ln x)^2}{x^2+1}\,dx=\frac{\pi^3}{8}.$$

Kai

(1)

$f(z) = \frac{(\ln z)^2}{z^2 + 1}$ とおくと、 $f(z)$ は $C$ 内部に $1$ 位の極 $i$ をもつ. よって、留数定理より、

$$\begin{aligned} \oint f(z)dz &= 2\pi i \cdot \text{Res}_{z = i} \frac{(\ln z)^2}{z^2 + 1} \\ &= 2\pi i \cdot \frac{(\ln i)^2}{2i} \\ &= (\ln i)^2 \cdot \pi \\ &= -\frac{\pi^3}{4} \end{aligned}$$

(2)

曲線 $C$ を

• 区間 $[Re^{i0},Re^{i\pi}]$ を $C_R$
• 区間 $[-R,-\varepsilon]$ を $C_1$
• 区間 $[\varepsilon e^{i\pi},\varepsilon e^{i0}]$ を $C_\varepsilon$
• 区間 $[\varepsilon, R]$ を $C_2$ として。 $C = C_R + C_1 + C_{\varepsilon} + C_2$ と表す。

$$\begin{aligned} \oint_C f(z)dz = \int_{C_R}f(z)dz + \int_{C_1}f(z)dz + \int_{C_\varepsilon}f(z)dz + \int_{C_2}f(z)dz \tag{\textcircled{1}} \end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned} \bigg|\int_{C_R}f(z)dz\bigg| &= \bigg|\int_0^{\pi}\frac{(\ln R + i\theta)^2}{R^2e^{2i\theta} + 1} \cdot iRe^{i\theta}d\theta\bigg| \\ &\leqq \int_0^{\pi}\bigg|\frac{(\ln R + i\theta)^2}{R^2e^{2i\theta} + 1}\cdot R d\theta\bigg| \\ &\leqq \int_0^{\pi}\frac{(\ln R)^2 + \pi^2}{R^2 - 1} \cdot R d\theta \\ &= \frac{R}{R^2 - 1}[(\ln R)^2 + \pi^2] \cdot \pi \overset{R \rightarrow \infty}{\longrightarrow}0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \bigg|\int_{C_\varepsilon}f(z)dz\bigg| &= \bigg|\int_{\pi}^0 \frac{(\ln \varepsilon + i\theta)^2}{\varepsilon^2e^{2i\theta} + 1}i\varepsilon e^{i\theta}d\theta\bigg| \\ &\leqq \int_0^{\pi}\bigg|\frac{(\ln \varepsilon)^2 + \pi^2}{1 - \varepsilon^2}\cdot \varepsilon d\theta\bigg| \\ &= \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^2}\bigl[(\ln\varepsilon)^2+\pi^2\bigr]\pi \overset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \lim_{R \rightarrow \infty,\varepsilon \rightarrow 0}\int_{C_1}f(z)dz &= \int_0^{\infty}\frac{(\ln x + \pi i)^2}{x^2 + 1}dx \notag \\ &= \int_0^{\infty} \frac{(\ln x)^2}{x^2 + 1}dx + 2\pi i \int_0^{\infty}\frac{\ln x}{x^2 + 1}dx - \pi^2\int_0^{\infty}\frac{1}{x^2 + 1}dx \notag \\ &= \int_0^{\infty} \frac{(\ln x)^2}{x^2 + 1}dx + 2\pi i \int_0^{\infty}\frac{\ln x}{x^2 + 1}dx - \pi^2[\tan^{-1}x]_0^{\infty} \notag \\ &= \int_0^{\infty}\frac{(\ln x)^2}{x^2 + 1}dx + 2\pi i \int_0^{\infty}\frac{\ln x}{x^2 + 1}dx - \frac{\pi^3}{2} \tag{\textcircled{2}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \lim_{R \rightarrow \infty,\varepsilon \rightarrow 0}\int_{C_2}f(z)dz = \int_0^{\infty} \frac{(\ln x)^2}{x^2 + 1}dx \tag{\textcircled{3}} \end{aligned}$$

② について、 $\int_0^{\infty}\frac{\ln x}{x^2 + 1}dx$ を求める。 $q(z) = \frac{\ln z}{z^2 + 1}$ とおくと、

$$\begin{aligned} \oint_C q(z)\,dz =2\pi i\operatorname{Res}_{z=i}q(z) =2\pi i\frac{\ln i}{2i} =\frac{\pi^2}{2}i \end{aligned}$$

$f(z)$ と同様に $q(z)$ について、

$$\begin{aligned} \bigg|\int_{C_R}q(z)dz\bigg| &= \bigg|\int_0^{\pi}\frac{\ln R + i\theta}{R^2e^{2i\theta} + 1}i Re^{i\theta}d\theta\bigg| \\ &\leqq \int_0^{\pi} \frac{R}{R^2 - 1} \cdot \sqrt{(\ln R)^2 + \pi^2} d\theta \\ &= \frac{R}{R^2 - 1}\sqrt{(\ln R)^2 + \pi^2} \cdot \pi \overset{R \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \bigg|\int_{C_\varepsilon}q(z)dz\bigg| &= \bigg|\int_{\pi}^0\frac{\ln \varepsilon + i\theta}{\varepsilon^2 e^{2i\theta} + 1}i\varepsilon e^{i\theta}d\theta\bigg| \\ &\leqq \int_0^{\pi}\frac{\varepsilon}{1 - \varepsilon^2}\sqrt{(\ln \varepsilon)^2 + \pi^2}d\theta \\ &= \frac{\varepsilon}{1 - \varepsilon^2}\sqrt{(\ln \varepsilon)^2 + \pi^2} \cdot \pi \overset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \lim_{R \rightarrow \infty,\varepsilon \rightarrow 0}\int_{C_1}q(z)\,dz &=\int_0^\infty\frac{\ln x+i\pi}{x^2+1}\,dx =J+\frac{\pi^2}{2}i,\\ \lim_{R \rightarrow \infty,\varepsilon \rightarrow 0}\int_{C_2}q(z)\,dz &=\int_0^\infty\frac{\ln x}{x^2+1}\,dx=J \end{aligned}$$

ただし $J=\int_0^\infty\frac{\ln x}{x^2+1}\,dx$ とした。したがって

$$\frac{\pi^2}{2}i=2J+\frac{\pi^2}{2}i$$

$$\begin{aligned} \therefore \int_0^{\infty}\frac{\ln x}{x^2 + 1}dx = 0 \tag{\textcircled{4}} \end{aligned}$$

① ~ ④　から、

$$-\frac{\pi^3}{4} = 0 + 2\int_0^{\infty}\frac{(\ln x)^2}{x^2 + 1}dx - \frac{\pi^3}{2} + 0$$

$$\therefore \int_0^{\infty}\frac{(\ln x)^2}{x^2 + 1}dx = \frac{\pi^3}{8}$$