九州大学 システム情報科学府 情報学専攻・情報知能工学専攻・電気電子工学専攻 共通 2017年度入学 数学 問4（複素関数論） Author 思齐塾 , 祭音Myyura
Description
出典：九州大学公式問題 。
複素関数 w ( z ) = z − 1 z + 1 w(z) = \frac{z-1}{z+1} w ( z ) = z + 1 z − 1 z = x + i y z=x+iy z = x + i y i = − 1 i = \sqrt{-1} i = − 1 x x x y y y
(1) w ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) w(z) = u(x, y) + iv(x, y) w ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) v ( x , y ) v(x, y) v ( x , y ) u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) v ( x , y ) v(x, y) v ( x , y )
(2) 以下の領域 A A A w ( z ) w(z) w ( z ) w ( A ) = { w ( z ) ∣ z ∈ A } w(A) = \{w(z) | z \in A\} w ( A ) = { w ( z ) ∣ z ∈ A } A = { z ∈ C ∣ x = 0 } A = \{z \in \mathbb{C} | x = 0\} A = { z ∈ C ∣ x = 0 } A = { z ∈ C ∣ x = 1 } A = \{z \in \mathbb{C} | x = 1\} A = { z ∈ C ∣ x = 1 } A = { z ∈ C ∣ y = 0 , x ≥ 0 } A = \{z \in \mathbb{C} | y = 0, x \geq 0\} A = { z ∈ C ∣ y = 0 , x ≥ 0 }
题目描述
考虑 Möbius 变换
w ( z ) = z − 1 z + 1 , z ≠ − 1. w(z)=\frac{z-1}{z+1},\qquad z\ne-1. w ( z ) = z + 1 z − 1 , z = − 1. 令 z = x + i y z=x+iy z = x + i y x , y x,y x , y i = − 1 i=\sqrt{-1} i = − 1
若
w ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , w(z)=u(x,y)+iv(x,y), w ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , 其中 u , v u,v u , v u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) v ( x , y ) v(x,y) v ( x , y )
对下列三个集合 A A A
w ( A ) = { w ( z ) ∣ z ∈ A } , w(A)=\{w(z)\mid z\in A\}, w ( A ) = { w ( z ) ∣ z ∈ A } , 并准确说明像曲线中包含或不包含的端点：
A = { z ∈ C ∣ x = 0 } A=\{z\in\mathbb C\mid x=0\} A = { z ∈ C ∣ x = 0 } A = { z ∈ C ∣ x = 1 } A=\{z\in\mathbb C\mid x=1\} A = { z ∈ C ∣ x = 1 } A = { z ∈ C ∣ y = 0 , x ≥ 0 } A=\{z\in\mathbb C\mid y=0,\ x\ge0\} A = { z ∈ C ∣ y = 0 , x ≥ 0 }
Kai (1) w ( z ) = z − 1 z + 1 = x + i y − 1 x + i y + 1 = ( x − 1 ) + i y ( x + 1 ) + i y = ( ( x − 1 ) + i y ) ( ( x + 1 ) − i y ) ( ( x + 1 ) + i y ) ( ( x + 1 ) − i y ) = ( x − 1 ) ( x + 1 ) + y 2 + i y ( x + 1 ) − i y ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 + y 2 = x 2 − 1 + y 2 + i ( 2 y ) ( x + 1 ) 2 + y 2 = x 2 + y 2 − 1 ( x + 1 ) 2 + y 2 + i 2 y ( x + 1 ) 2 + y 2 w(z) = \frac{z-1}{z+1} = \frac{x+iy-1}{x+iy+1} = \frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy} = \frac{((x-1)+iy)((x+1)-iy)}{((x+1)+iy)((x+1)-iy)} = \frac{(x-1)(x+1) + y^2 + iy(x+1) - iy(x-1)}{(x+1)^2 + y^2} = \frac{x^2 - 1 + y^2 + i(2y)}{(x+1)^2 + y^2} = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x+1)^2 + y^2} + i\frac{2y}{(x+1)^2 + y^2} w ( z ) = z + 1 z − 1 = x + i y + 1 x + i y − 1 = ( x + 1 ) + i y ( x − 1 ) + i y = (( x + 1 ) + i y ) (( x + 1 ) − i y ) (( x − 1 ) + i y ) (( x + 1 ) − i y ) = ( x + 1 ) 2 + y 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) + y 2 + i y ( x + 1 ) − i y ( x − 1 ) = ( x + 1 ) 2 + y 2 x 2 − 1 + y 2 + i ( 2 y ) = ( x + 1 ) 2 + y 2 x 2 + y 2 − 1 + i ( x + 1 ) 2 + y 2 2 y
従って, u ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1 ( x + 1 ) 2 + y 2 u(x,y) = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x+1)^2 + y^2} u ( x , y ) = ( x + 1 ) 2 + y 2 x 2 + y 2 − 1 v ( x , y ) = 2 y ( x + 1 ) 2 + y 2 v(x,y) = \frac{2y}{(x+1)^2 + y^2} v ( x , y ) = ( x + 1 ) 2 + y 2 2 y
(2)
(a) A = { z ∈ C ∣ x = 0 } A = \{z \in \mathbb{C} | x = 0\} A = { z ∈ C ∣ x = 0 } z = i y z = iy z = i y w ( z ) = w ( i y ) = y 2 − 1 ( 0 + 1 ) 2 + y 2 + i 2 y ( 0 + 1 ) 2 + y 2 = y 2 − 1 1 + y 2 + i 2 y 1 + y 2 w(z) = w(iy) = \frac{y^2 - 1}{(0+1)^2 + y^2} + i\frac{2y}{(0+1)^2 + y^2} = \frac{y^2-1}{1+y^2} + i\frac{2y}{1+y^2} w ( z ) = w ( i y ) = ( 0 + 1 ) 2 + y 2 y 2 − 1 + i ( 0 + 1 ) 2 + y 2 2 y = 1 + y 2 y 2 − 1 + i 1 + y 2 2 y w = u + i v w = u + iv w = u + i v u = y 2 − 1 1 + y 2 u = \frac{y^2-1}{1+y^2} u = 1 + y 2 y 2 − 1 v = 2 y 1 + y 2 v = \frac{2y}{1+y^2} v = 1 + y 2 2 y u 2 + v 2 = ( y 2 − 1 y 2 + 1 ) 2 + ( 2 y y 2 + 1 ) 2 = ( y 2 − 1 ) 2 + 4 y 2 ( y 2 + 1 ) 2 = y 4 − 2 y 2 + 1 + 4 y 2 ( y 2 + 1 ) 2 = y 4 + 2 y 2 + 1 ( y 2 + 1 ) 2 = ( y 2 + 1 ) 2 ( y 2 + 1 ) 2 = 1 u^2 + v^2 = (\frac{y^2-1}{y^2+1})^2 + (\frac{2y}{y^2+1})^2 = \frac{(y^2-1)^2 + 4y^2}{(y^2+1)^2} = \frac{y^4 -2y^2 + 1 + 4y^2}{(y^2+1)^2} = \frac{y^4 + 2y^2 + 1}{(y^2+1)^2} = \frac{(y^2+1)^2}{(y^2+1)^2} = 1 u 2 + v 2 = ( y 2 + 1 y 2 − 1 ) 2 + ( y 2 + 1 2 y ) 2 = ( y 2 + 1 ) 2 ( y 2 − 1 ) 2 + 4 y 2 = ( y 2 + 1 ) 2 y 4 − 2 y 2 + 1 + 4 y 2 = ( y 2 + 1 ) 2 y 4 + 2 y 2 + 1 = ( y 2 + 1 ) 2 ( y 2 + 1 ) 2 = 1 w ( A ) w(A) w ( A ) w = 1 w = 1 w = 1 w ( A ) = { w ∈ C ∣ ∣ w ∣ = 1 , w ≠ 1 } w(A) = \{w \in \mathbb{C} | |w|=1, w \neq 1\} w ( A ) = { w ∈ C ∣∣ w ∣ = 1 , w = 1 }
(b) A = { z ∈ C ∣ x = 1 } A = \{z \in \mathbb{C} | x = 1\} A = { z ∈ C ∣ x = 1 } z = 1 + i y z = 1+iy z = 1 + i y
w ( z ) = i y 2 + i y = y 2 4 + y 2 + i 2 y 4 + y 2 . w(z)=\frac{iy}{2+iy}
=\frac{y^2}{4+y^2}+i\frac{2y}{4+y^2}. w ( z ) = 2 + i y i y = 4 + y 2 y 2 + i 4 + y 2 2 y . 従って w = u + i v w=u+iv w = u + i v
u = y 2 4 + y 2 , v = 2 y 4 + y 2 , u=\frac{y^2}{4+y^2},\qquad
v=\frac{2y}{4+y^2}, u = 4 + y 2 y 2 , v = 4 + y 2 2 y , であり、直接計算して
( u − 1 2 ) 2 + v 2 = 1 4 \left(u-\frac12\right)^2+v^2=\frac14 ( u − 2 1 ) 2 + v 2 = 4 1 を得る。 y = 0 y=0 y = 0 w = 0 w=0 w = 0 y y y u < 1 u<1 u < 1 w = 1 w=1 w = 1 ∣ y ∣ → ∞ |y|\to\infty ∣ y ∣ → ∞
w ( A ) = { w = u + i v : ( u − 1 2 ) 2 + v 2 = 1 4 , w ≠ 1 } . w(A)=\left\{w=u+iv:\left(u-\frac12\right)^2+v^2=\frac14,\ w\ne1\right\}. w ( A ) = { w = u + i v : ( u − 2 1 ) 2 + v 2 = 4 1 , w = 1 } . これは中心 1 / 2 1/2 1/2 1 / 2 1/2 1/2 w = 1 w=1 w = 1
(c) A = { z ∈ C ∣ y = 0 , x ≥ 0 } A = \{z \in \mathbb{C} | y = 0, x \geq 0\} A = { z ∈ C ∣ y = 0 , x ≥ 0 } z = x z = x z = x w ( z ) = x − 1 x + 1 w(z) = \frac{x-1}{x+1} w ( z ) = x + 1 x − 1 x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0 − 1 ≤ x − 1 x + 1 < 1 -1 \leq \frac{x-1}{x+1} < 1 − 1 ≤ x + 1 x − 1 < 1 w ( A ) = { w ∈ R ∣ − 1 ≤ w < 1 } w(A) = \{w \in \mathbb{R} | -1 \leq w < 1 \} w ( A ) = { w ∈ R ∣ − 1 ≤ w < 1 }
以下の図では、白丸は除外する点、黒丸は含む点を表す。
