九州大学システム情報科学府情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2016年8月実施ベクトル解析

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Zero, 祭音Myyura

出典：九州大学公式問題。次の各問に答えよ．ただし $(x, y, z)$ は三次元空間の直交座標を表す.

(1) スカラー場 $\phi = x^2yz^3 + xy^2z$ について，点 $(1,3,2)$ における $\nabla \cdot (\nabla \phi)$ を計算せよ．

(2) スカラー場 $V = xyz$ について，次の面 $S$ に対する $V$ の面積分を計算せよ．

S: x^2 + y^2 = 4,x \ge 0,y \ge 0, 3 \ge z \ge 0

以下 $(x,y,z)$ 表示三维空间的直角坐标。

对标量场

$\phi=x^2yz^3+xy^2z,$

计算其拉普拉斯算子 $\nabla\cdot(\nabla\phi)$ 在点 $(1,3,2)$ 处的值。
对标量场 $V=xyz$ ，计算其在四分之一圆柱侧面

$S:\ x^2+y^2=4,\quad x\ge0,\quad y\ge0,\quad0\le z\le3$

上的面积分 $\int_S V\,dS$ 。

$\phi = x^2yz^3 + xy^2z$ の点 $(1,3,2)$ における $\nabla \cdot (\nabla \phi)$

\begin{aligned} \nabla \cdot (\nabla \phi) &= \nabla \cdot (\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}) \\ &= \frac{\partial ^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2\phi}{\partial z^2} \\ &= 2yz^3 + 2xz + 6x^2yz \\ &= 88 \end{aligned}

0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},0 \le z \le 3

\begin{aligned} &x = 2\cos\theta,y = 2\sin\theta,z = z \\ &r = (2\cos\theta,2\sin\theta,z) \\ &r_{\theta} = (-2\sin\theta,2\cos\theta,0) \\ &r_z = (0,0,1) \end{aligned}

r_\theta \times r_z = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -2\sin\theta & 2\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2\cos\theta i + 2\sin\theta j

\left|r_\theta \times r_z\right| = 2

\begin{aligned} V &= (2\cos\theta) \cdot (2\sin\theta) \cdot z \\ &= 4\sin\theta \cos\theta z \\ &= 2z\sin2\theta \end{aligned}

\begin{aligned} \int_S V d S &= \int_0^3 dz \int_0^{\frac{\pi}{2}}2z \sin2\theta \cdot |r_\theta \times r_z|d\theta \\ &= \int_0^3 dz \int_0^{\frac{\pi}{2}}4z\sin2\theta d\theta \\ &= \int_0^3 dz \bigg[-2z\cos2\theta\bigg]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \int_0^3 dz (4z) \\ &= \big[2z^2\big]_0^3 \\ &= 18 \end{aligned}