九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2016年8月実施 ベクトル解析

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Zero

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次の各問に答えよ．ただし $(x, y, z)$ は三次元空間の直交座標を表す.

(1) スカラー場 $\phi = x^2yz^3 + xy^2z$ について，点 $(1,3,2)$ における $\nabla \cdot (\nabla \cdot \phi)$ を計算せよ．

(2) スカラー場 $V = xyz$ について，次の面 $S$ に対する $V$ の面積分を計算せよ．

$$S: x^2 + y^2 = 4,x \ge 0,y \ge 0, 3 \ge z \ge 0$$

Kai

(1)

$\phi = x^2yz^3 + xy^2z$ 点 $(1,3,2)$ における $\nabla \cdot (\nabla \cdot \phi)$

$$\begin{aligned} \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) &= \nabla \cdot (\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}) \\ &= \frac{\partial ^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2\phi}{\partial z^2} \\ &= 2yz^3 + 2xz + 6x^yz \\ &= 88 \end{aligned}$$

(2)

$$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},0 \le z \le 3$$

$$\begin{aligned} &x = 2\cos\theta,y = 2\sin\theta,z = z \\ &r = (2\cos\theta,2\sin\theta,z) \\ &r_{\theta} = (-2\sin\theta,2\cos\theta,0) \\ &r_z = (0,0,1) \end{aligned}$$

$$r_\theta \times r_z = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -2\sin\theta & 2\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2\cos\theta i + 2\sin\theta j$$

$$r_\theta \times r_z = 2$$

$$\begin{aligned} V &= (2\cos\theta) \cdot (2\sin\theta) \cdot z \\ &= 4\sin\theta \cos\theta z \\ &= 2z\sin2\theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_S V d S &= \int_0^3 dz \int_0^{\frac{\pi}{2}}2z \sin2\theta \cdot |r_\theta \times r_z|d\theta \\ &= \int_0^3 dz \int_0^{\frac{\pi}{2}}4z\sin2\theta d\theta \\ &= \int_0^3 dz \bigg[-2z\cos2\theta\bigg]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \int_0^3 dz (4z) \\ &= \big[2z^2\big]_0^3 \\ &= 18 \end{aligned}$$